Свойства операций над событиями

2. Классическое определение вероятности. Урновая схема. Пример.

Говорят, что случайный эксперимент удовлетворяет классическому определению вероятности(или классической вероятностной схеме), если:

• пространство элементарных событий состоит из конечногочисла исходов

;

• все элементарные исходы эксперимента являются равновозможными (т. е. ни один из исходов не имеет предпочтения перед другими).

Согласно классическому определению вероятности вероятность любого события , равна отношению числаисходов,благоприятствующих событию , к общему числу исходов:

Свойства вероятности, непосредственно вытекающие из классического определения вероятности:

1°. для любого событияА (доказательство очевидно).

2°. (доказательство очевидно).

3°. Если события инесовместны , то

.

▲ Пусть событию А благоприятствуетисходов, а событиюВ-исходов. Поскольку событияАиВявляются несовместными (т.е. не имеют общих исходов), то суммеблагоприятствуетисходов. Поэтому

.■

Исходя из свойств 1  3 (и только!!!) вытекают также следующие свойства вероятности:

4°. .

▲ Поскольку события образуют полную группу событий (), то из свойств 2° и 3°.■

5°. .

▲ Следует из свойств 2° и 4°, поскольку события .■

6°. .

▲ Представим событие В в виде: . Поскольку событияявляются несовместными, то из свойств 1° и 3° имеем:.■

7°. .

▲ Следует из свойств 2°, 5° и 6°, так как (в частности, свойство 7° означает, что измерять вероятность в процентах некорректно).■

Пример 2 (Урновая схема).

В урне находится Nшаров, из которыхMбелые. Из урны наугад извлекаетсяnшаров. Какова вероятность того, что среди выбранных шаров окажется ровноmбелых.

Решение. Исходами в данном эксперименте являются любые подмножества, содержащие nшаров, и они являются равновозможными (за счет слова «наугад»). Число всех исходов равно числу сочетаний изnпоN:. Каждый набор шаров, входящий в интересующее нас событие, состоит изmбелых шаров, которые можно выбрать изMбелыхспособами. Независимо от выбора белых шаров, небелые шары можно выбратьспособами. Поэтому общее число благоприятных исходов равно. Из этого следует, что_.

При решении задач с использованием классического определения вероятности, широко используются понятия комбинаторики. Напомним некоторые из них.

Размещением из N элементов некоторого множества по M элементов называется любой упорядоченный набор из M элементов данного множества. Число всех размещений равно .

Если в упорядоченном наборе элементы могут повторяться, то этот набор называется размещением с повторениями. Число размещений с повторениями: равно.

Перестановкой из N элементов некоторого множества называется размещение из N элементов по N. Число всех перестановок равно .

Сочетанием из N элементов некоторого множества по M элементов называется любое подмножество мощности M. Число всех сочетаний равно .

3. Геометрическое определение вероятности. Пример.

Геометрическое определение вероятности является обобщением классического определения вероятности на случай, когда множество равновозможных исходов бесконечно.

Говорят, что случайный эксперимент удовлетворяет геометрическому определению вероятности, если:

• исходы эксперимента можно изобразить точками некоторой области , имеющей конечную меру;

• можно считать, что попадание точки в любые области , имеющие одинаковую конечную меру,равновозможно и не зависит от формы и расположения внутри. При этом говорят, чтоточка равномерно распределена в области или бросается в областьнаудачу.

Согласно геометрическому определению вероятности вероятность попадания точки в любую область (событие) пропорциональна ее мере:

.

В частности:

при под меройпонимается длинаподмножества на числовой прямойи

;

при под меройпонимается площадьподмножества на плоскостии

A

;



при под меройпонимается объемподмножества в пространствеи

.

V_

V_A

Замечание. В рассмотренной схеме событиями считаются не любые подмножества , а только имеющие конечную меру

. Данное ограничение необходимо, поскольку в существуют неизмеримые (не имеющие меры) множества (см. замечание из раздела 1.2, а также раздел 1.7).

Из геометрического определения вероятности вытекают следующие свойства вероятности.

Следовательно, справедливы и свойства вероятности 4° – 7°, доказательство которых в классическом определении вероятности основывалось только на свойствах 1° – 3°.

Пример.

На обслуживающее устройство в промежутке времени равновозможно поступление двух заявок. Время обслуживания одной заявки равно. Если очередная заявка поступает в момент занятости устройства обслуживанием предыдущей, то она теряется. Найти вероятность потери заявки.

Решение. Обозначим t1, t2 моменты поступления заявок.Тогда Интересующее нас событие Аимеет вид: . Поэтому (см. рисунок) .

t2 T  t1 T 