28. Многомерное нормальное распределение и его свойства.

Нормальное распределение в одномерном случае задается плотностью вероятностей вида:

,

причем параметры (предполагается, что, иначе распределение является вырожденным).

Определение. Говорят, что непрерывный случайный вектор имеетмногомерное нормальное (гауссовское) распределение, если его плотность вероятностей имеет вид:

, (3.19)

где - математическое ожидание случайного вектора;- корреляционная матрица случайного вектора;- определитель корреляционной матрицы(предполагается, что);– алгебраическое дополнение к элементуматрицы(так, что- элемент матрицы, обратной к).

Несколько более компактно выглядит запись для многомерной нормальной плотности вероятностей в векторной форме:

,

где верхний индекс «Т» означает знак транспонирования.

Далее будет использоваться для нормального случайного вектора краткая запись: .

Из выражения (3.19) для плотности вероятностей видно, что нормальный закон распределения полностью определяется моментами первых двух порядков: математическими ожиданиями , дисперсиямии корреляционными моментами.

Если случайный вектор и его координаты являютсяпопарно некоррелированными случайными величинами, то есть , то корреляционная матрицаи обратная к нейявляются диагональными

, .

Поэтому из (3.19) следует, что

,

где - плотности вероятностей одномерного нормального распределения с параметрами. Но это означает независимость случайных величин.

Таким образом, для нормально распределенных случайных величин понятия независимости и некоррелированности совпадают (эквивалентны).

Другие замечательные свойства многомерного нормального распределения.

Если , то:

1. Все координаты имеют одномерные нормальные распределения:(уметь доказывать при).

2. Все условные законы распределения являются нормальными (уметь доказывать при ).

3. Если координаты являются независимыми случайными величинами, то любая их линейная комбинациятакже является нормальной случайной величиной:(уметь доказывать прис помощью интеграла свертки).

Рассмотрим подробнее случай . Пусть- непрерывный случайный вектор, у которого. В этом случае корреляционная матрица случайного вектораимеет вид:, а определитель корреляционной матрицы.

Поэтому плотность вероятностей двумерного нормального случайного вектора имеет вид:

.

Для двумерного нормального случайного вектора используется краткая запись:(зависит от пяти параметров).

График двумерной плотности вероятностей имеет вид:

Линиями уровня двумерной плотности вероятностей являются эллипсы:

Найдем одномерные плотности вероятностей икоординат случайного вектора.

,

то есть .

Аналогично, , то есть.

Таким образом, у двумерного нормального случайного вектора одномерные законы распределениявсегда являются нормальными.

Найдем условные законы распределения, если случайный вектор .

Из полученного вида условной плотности вероятностей следует, что она является плотностью вероятностей нормального закона распределения с параметрами

и .

Полностью аналогично получаем, что условная плотность вероятностей

является плотностью вероятностей нормального закона распределения с параметрами

и .

Таким образом, если - двумерный нормальный случайный вектор, то условные математические ожиданияиявляются линейными функциями условия (или, другими словами, в нормальном случае уравнения регрессии являются линейными), а условные дисперсиииявляются постоянными величинами.