25. Теоремы о числовых характеристиках.

Теорема 1 (теорема сложения математических ожиданий).

Математическое ожидание суммы двух любых случайных величин иравно сумме их математических ожиданий:.

▲ Докажем теорему в непрерывном случае, в дискретном случае доказать самостоятельно.

Из обобщения ОТМО на двумерный случай при имеем:

■.

По индукции теорема 1 обобщается на сумму любого конечного числа случайных величин:

.

Теорема 2 (теорема умножения математических ожиданий).

Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин иравно произведению их математических ожиданий:.

▲ Докажем теорему в непрерывном случае, в дискретном случае доказать самостоятельно.

Если непрерывные случайные величины иявляются независимыми, то. Поэтому из обобщения ОТМО на двумерный случай приимеем:

■.

По индукции теорема 2 обобщается на произведение любого конечного числа независимых (в совокупности) случайных величин: .

26. Некоррелированные св. Связь между некоррелированностью и независимостью. Пример.

Определение. Случайные величины и, для которых корреляционный момент, называютсянекоррелированными.

Учитывая, что ,

получаем: случайные величины иявляются некоррелированными тогда и только тогда, когда.

Отсюда и из теоремы 2 вытекает, что из независимости случайных величин всегда следует их некоррелированность. Обратное, вообще говоря, неверно. Можно только сказать, что если случайные величины являются коррелированными, так, что , то они являются зависимыми.

Пример.

Равномерное распределение в круге .

Ранее были найдены одномерные плотности вероятностей координат вектора :

и установлено, что случайные величины иявляются зависимыми, так как.

Найдем корреляционный момент СВи.

в силу нечетности подинтегральной функции и симметричности относительно нуля пределов интегрирования.

По аналогичным соображениям Найдем.

также в силу нечетности подинтегральной функции.

Таким образом, и, следовательно, случайные величиныиявляются зависимыми, но некоррелированными.

Понятие некоррелированности случайных величин играет важную роль в теории вероятностей. Подтверждением тому является следующая теорема.

Теорема 3 (теорема сложения дисперсий).

Для любых действительных чисел и любых случайных величини, имеющих конечную дисперсию.

В частности, если и случайные величиныиявляются некоррелированными, то имеет место свойство аддитивности дисперсии:.

▲ Доказательство теоремы основано только на свойствах математического ожидания и определении корреляционного момента :

.■.

По индукции утверждение теоремы 3 обобщается на линейную комбинацию любого конечного числа случайных величин следующим образом.

Для любых действительных чисел и случайных величин, имеющих конечную дисперсию

.

В частности, если все , а случайные величиныявляются попарно некоррелированными (), то имеет место свойство аддитивности дисперсии:.

27. Коэффициент корреляции, его свойства и вероятностный смысл.

Значение корреляционного момента зависит от единиц измерения случайных величини. Безразмерным аналогомявляетсякоэффициент корреляции, определяемый формулой: ,

где - средние квадратические отклонения случайных величини.

Свойства коэффициента корреляции.

1. , если случайные величины иявляются независимыми.

(Свойство очевидно, так как в этом случае ).

2. Коэффициент корреляции по модулю не превосходит 1: .

▲ В соответствии со свойством 1 дисперсии .

Положим . Тогда,

Откуда .

Следовательно, , и поэтому.■.

3. тогда и только тогда, когда случайные величины исвязаны линейной зависимостью, то есть существуют действительные числаА и В такие, что .

▲ Необходимость. Предположим, что . Тогдаи из доказательства свойства 2 следует, чтопри. В соответствии со свойством 1 дисперсии это означает, что, откудаи значит.

Достаточность. Пусть . Тогда, а корреляционный момент случайных величиниравен

.

Поэтому ■.

Итак, для независимых случайных величин и достигает максимального по модулю значениядля сильно (линейно) зависимых случайных величин. Поэтому значение коэффициента корреляции можно интерпретировать как степень линейной зависимости между случайными величинами.

Геометрическая иллюстрация: чем больше по модулю , тем плотнее значения случайного векторарасполагаются вдоль некоторой прямой. Многомерный случай.

Основными числовыми характеристики -мерного случайного вектораявляются:

• математическое ожидание ;

• корреляционная матрица , элементами которой являются всевозможные попарные корреляционные моменты координат:.

Свойства корреляционной матрицы.

1. Матрица является симметрической размера:,.

2. На диагонали матрицы расположены дисперсии координат случайного вектора:,.

3. Матрица является неотрицательно определенной матрицей, то есть для любогои для любых действительных чисел.

▲ Обозначим - центрированную случайную величины,. Тогдаи для произвольных чиселимеем:

■.

Наряду с корреляционной матрицей , иногда рассматривают нормированную корреляционную матрицу, элементами которой являются всевозможные попарные коэффициенты корреляции координат:. Отличие ее от просто корреляционной матрицы состоит в том, что у нормированной корреляционной матрицы все диагональные элементы равны 1:.