21.Равномерное распределение в области на плоскости. Равномерные распределения в прямоугольнике и в круге.

Пример (Равномерное распределение в области ).

Говорят, что непрерывный случайный вектор имеет равномерное распределение в области, если его плотность вероятностей постоянна внутри области:

Константа С при этом однозначно определяется из условия нормировки:, то есть,

где - площадь области.

а) Равномерное распределение в прямоугольнике.

Непрерывный случайный вектор имеет равномерное распределение в прямоугольникесо сторонами, параллельными осям координат, если его плотность вероятностей имеет вид:

Найдем одномерные плотности вероятностей координат .

В соответствии со свойством 2f4) двумерной плотности вероятностей имеем (см. (3.8)):

.

Таким образом, то есть.

Аналогично, в соответствии с (3.8)

.

Таким образом, то есть.

б) Равномерное распределение в круге.

Непрерывный случайный вектор имеет равномерное распределение в круге, если его плотность вероятностей имеет вид:

Найдем одномерные плотности вероятностей координат .

В соответствии со свойством 2f4) двумерной плотности вероятностей имеем (см. (3.8)):

.

Таким образом,

Аналогично, в соответствии с (3.8)

.

Таким образом,

Все приведенные выше определения и формулы для двумерного непрерывного случайного вектора легко обобщаются на случай-мерного случайного вектора

22. Независимость случайных величин. Условия независимости. Независимость в совокупности.

Известно, что события А и В являются независимыми, если . Аналогично определяется и независимость случайных величини, только вместо событийА и В следует использовать события, связанные с этими случайными величинами.

Определение. Случайные величины иназываютсянезависимыми, если для любых имеет место равенство:

или, в терминах функций распределения, . (3.9)

Если при каких-либо равенство (3.9) не выполняется, то говорят, что случайные величиныиявляютсязависимыми.

Таким образом, независимость случайных величин означает, что их совместная функция распределения равна произведению одномерных функций распределенияи, или, как еще говорят, двумерная функция распределенияфакторизуется.

Отметим, что установить, являются зависимыми или независимыми случайные величины и, можно только по определению (3.9) и только, зная их совместный (двумерный) закон распределения (никакая вероятностная интуиция при этом не работает).

Замечание. В несколько более общем виде независимость случайных величин иопределяется следующим образом: для любых борелевских множеств

.

Но, учитывая, что борелевская -алгебрапорождается интервалами вида, оба определения являются эквивалентными (подробнее см. учебник Боровкова А.А. «Теория вероятностей»).

Установим условия независимости случайных величин в дискретном и непрерывном случаях.

Лемма 1 (Условие независимости дискретных случайных величин).

Пусть - дискретный случайный вектор, принимающий значенияс вероятностями,;, - вероятности возможных значений случайной величины,- вероятности возможных значений случайной величины.

Дискретные случайные величины и являются независимыми тогда и только тогда, когда при всехи:, (3.10), то есть вероятностьфакторизуется.

Если при каких-либо иравенство (3.10) не выполняется, то дискретные случайные величины и являются зависимыми.

(Случай счетного числа возможных значений у какой-либо из дискретных случайных величин илирассмотреть самостоятельно).

▲ Необходимость. Пусть дискретные случайные величины и являются независимыми. Тогдадля любых.

Обозначим прямоугольник

со сторонами, параллельными осям

координат, который содержит точку

и не содержит других значений

дискретного случайного вектора .

Тогда

(по построению ) =

= (по свойству 2F4)) =

= (в силу независимости случайных величин) =(по построению),

то есть , и так можно сделать для любого значения.

Достаточность. Если выполняется равенство (3.10), то в соответствии с определениями функций распределения,имеем:

,

то есть дискретные случайные величины иявляются независимыми ■.

Лемма 2 (Условие независимости непрерывных случайных величин).

Пусть - непрерывный случайный вектор,- его плотность вероятностей,и- одномерные плотности вероятностей его координат, определяемые по формулам (3.8).

Непрерывные случайные величины иявляются независимыми тогда и только тогда, когда

(3.11)

для всех , являющихся точками непрерывности функцийи, то есть двумерная плотность вероятностейфакторизуется.

Если при каких-либо равенство (3.11) не выполняется, то непрерывные случайные величиныиявляются зависимыми.

▲ Необходимость. Если непрерывные случайные величиныиявляются независимыми, то.

Дифференцируя это равенство по и по, получаем:

и, следовательно, в соответствии с определениями плотностей вероятностей ,исправедливо равенство:

в точках непрерывности функций и.

Достаточность. Проинтегрируем равенство (3.11) по первому аргументу в пределах от дои по второму аргументу в пределах отдо. В результате получаем:

и, следовательно, в соответствии с определениями функций распределения ,идля любыхсправедливо равенство:,

то есть случайные величины иявляются независимыми ■.

Леммы 1 и 2 показывают, что, если случайные величины иявляются независимыми, то двумерный закон распределения случайного вектораполностью определяется одномерными законами распределения его координат (то есть понятие случайного вектора в этом случае вырождается).

Утверждения (3.10) и (3.11) лемм 1 и 2 могут служить определениями независимости случайных величин в дискретном и непрерывном случаях соответственно.

Пример.

а) Равномерное распределение в прямоугольнике со сторонами, параллельными осям координат:

Ранее были найдены одномерные плотности вероятностей координат:

Поскольку в этом случае , то случайные величиныиявляются независимыми.

б) Равномерное распределение в круге :

Ранее были найдены одномерные плотности вероятностей координат:

Поскольку в данном случае , то случайные величиныиявляются зависимыми.

Понятие независимости случайных величин обобщается на любое конечное число случайных величин следующим образом.

Определение. Случайные величины называютсянезависимыми в совокупности, если для любого , для любого набора индексови для любых,

или, в терминах функций распределения, для любой точки

,

где – функция распределения случайной величины. Таким образом, независимость в совокупности случайных величинозначает, что их многомерная функция распределенияфакторизуется.

Для независимости в совокупности непрерывных случайных величин , имеющих плотности вероятностей, необходимо и достаточно, чтобы

,

во всех точках непрерывности функций и.

Из независимости случайных величин в совокупности при следует их попарная независимость. Обратное неверно (примером тому по-прежнему служит пример С.Н. Бернштейна, если в качестве случайных величин рассмотреть индикаторные случайные величины соответствующих событий). В дальнейшем при рассмотрении одновременно более двух случайных величин под их независимостью, по умолчанию, будет подразумеваться независимость в совокупности.