20. Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей случайного вектора и ее свойства.

Снова начнем с рассмотрения двумерного случайного вектора .

Определение. Случайный вектор , заданный на вероятностном пространстве, называетсянепрерывным (или имеющим непрерывный закон распределения), если существует такая функция , двух действительных переменных, что для любой точкифункция распределенияслучайного векторадопускает представление:. (3.5)

Функция при этом называетсяплотностью вероятностей случайного вектора или двумерной плотностью вероятностей или совместной плотностью вероятностей случайных величини.

Из определения (3.5) следует:

1. Функция распределения непрерывного случайного вектора является непрерывной пои по(как двойной интеграл с переменными верхними пределами);

2. Функция распределения непрерывного случайного вектора является дифференцируемой пои пово всех точках, являющихся точками непрерывности двумерной плотности вероятностей, и при этом имеет место равенство:(3.6)

(также по свойствам двойного интеграла с переменными верхними пределами).

Замечание. Другими словами (сравнить с соответствующим замечанием в разделе 2.4), равенство (3.6) справедливо почти всюду, кроме (возможно) из некоторого множества нулевой меры на плоскости (площади).

Вероятностный смысл двумерной плотности вероятностей

Из (3.6), определения производной и свойства 2F4) двумерной функции распределения получаем, что

.

Таким образом, плотность вероятностей - это предел отношения вероятности попадания непрерывного случайного векторав прямоугольник со сторонамии, параллельными осям координат, к площади этого прямоугольника, когда длины обеих сторон стремятся к нулю (при интерпретации вероятности как массы, приходящейся на элементарный прямоугольник, получаем, чтоесть плотность массы в точке).

При малых иможно также записать, что

. (3.7)

Свойства двумерной плотности вероятностей

2f1). Двумерная плотность вероятностей является функцией неотрицательной:для любых.

▲ Поскольку функция распределения является неубывающей функцией по каждому из своих аргументов, то ее производная. Поэтому свойство следует из равенства (3.6) ■.

2f2). -условие нормировки.

▲ Из представления (3.5) следует, что , а в соответствии со свойством 2F2) двумерной функции распределения ■.

2f3). Вероятность попадания непрерывного случайного вектора в любое борелевское множествоопределяется формулой:.

▲ Разобъем множество на

элементарных непересекающихся

прямоугольников со сторонами,

параллельными осям координат и

равными и,.

Так как в соответствии с (3.7) и, то в силу аддитивности вероятности имеем:.

Последняя сумма является интегральной, и поэтому предельный переход при приводит к равенству■.

Замечание. Приведенное доказательство свойства 2f3), хотя и не является полностью строгим, но обладает наглядностью и фактически основано на том, что любое борелевское множество представимо в виде суммы элементарных прямоугольников.

2f4). Координаты непрерывного случайного вектора с плотностью вероятностейявляются непрерывными случайными величинами, плотности вероятностей которых(маргинальные плотности вероятностей), выражаются черезпо формулам:

, (3.8)

в точках непрерывности функций и.

▲ Из представления (3.5) следует, что .

Дифференцируя обе части этого равенства по , в точках непрерывности функцийиполучаем:.

Аналогично, из представления (3.5)

и после дифференцирования обеих частей последнего равенства по , имеем:

в точках непрерывности функций и■.

Определение. Случайный вектор называется непрерывным, если существует такая функциядействительных переменных, что для любой точкифункция распределенияслучайного векторадопускает представление:.

Функция при этом называетсяплотностью вероятностей случайного вектора или многомерной (-мерной) плотностью вероятностей, или совместной плотностью вероятностей случайных величин.

Во всех точках , являющихся точками непрерывности плотности вероятностей, имеет место равенство:.

Свойства многомерной плотности вероятностей

nf1). .

nf2). -условие нормировки.

nf3). Вероятность попадания случайного вектора в любое борелевское множествоопределяется формулой:;

nf4). Если - непрерывный случайный вектор с плотностью вероятностей, то случайный векторпри любоми любом наборе индексовтакже является непрерывным и имеет плотность вероятностей, определяемую по формуле:

(свойство согласованности).