17. Числовые характеристики важнейших св.

1. Индикаторная случайная величина.

Индикаторная случайная величина имеет вид:

а ее закон распределения:

	0	1
	q	p

где .

Найдем математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

.

.

Окончательно,

, .

2. Биномиальная случайная величина .

Множество возможных значений биномиальной СВ ,

а вероятности, с которыми значения принимаются, определяются по формуле Бернулли:

.

Найдем математическое ожидание случайной величины :

.

Для нахождения дисперсии случайной величины вычислим вначале:

.

Теперь для дисперсии случайной величины получаем выражение:

.

Окончательно,

, .

3. Геометрическая случайная величина .

Множество возможных значений геометрической случайной величины,

а вероятности значений определяются по формуле: .

Найдем математическое ожидание случайной величины :.

Заметим, что ряд представляет собой результат дифференцирования погеометрической прогрессии. Поэтому

.

Для нахождения дисперсии СВ вычислим вначале.

.

Заметим теперь, что при нахождении математического ожидания было получено, что . Поэтому .

Теперь для дисперсии случайной величины получаем выражение:.

Окончательно,

, .

4. Пуассоновская случайная величина .

Множество возможных значений пуассоновской случайной величины,

а вероятности, с которыми значения принимаются, задаются формулой:.

Найдем математическое ожидание случайной величины :

.

Для нахождения дисперсии случайной величины вычислим вначале:

Теперь для дисперсии случайной величины получаем выражение:

.

Окончательно,

, .

5. Равномерная случайная величина .

Плотность вероятностей случайной величины , равномерно распределенной на отрезке, имеет вид:

Найдем математическое ожидание случайной величины :

.

Найдем далее :

.

Для дисперсии случайной величины получаем выражение:

.

Окончательно,

,

6. Показательная (экспоненциальная) случайная величина .

Плотность вероятностей показательно распределенной случайной величины имеет вид:

Найдем математическое ожидание случайной величины :

.

Найдем далее :

.

Для дисперсии случайной величины получаем выражение:

.

Окончательно,

,

7. Нормальная (гауссовская) случайная величина .

Плотность вероятностей нормально распределенной с параметрами случайной величиныимеет вид:

.

Найдем математическое ожидание случайной величины :

Найдем дисперсию случайной величины (причем в данном случае удобнее пользоваться выражением для дисперсии):

.

Окончательно,

,

8. Случайная величина, имеющая распределение Коши.

Случайная величина , распределенная по закону Коши, имеет плотность вероятностей вида:

.

Найдем математическое ожидание этой случайной величины:

.

В связи с этим проверим выполнения условие существования математического ожидания, а именно абсолютную сходимость интеграла:

.

Поскольку интеграл абсолютно расходится, то у случайной величины, распределенной по закону Коши, математического ожидания не существует. А, следовательно, у данной случайной величины не существует дисперсии и других моментов более высоких порядков.