2.4. Методы оптимизации диагностических тестов
Таблица состояний является удобной формой задания оператором объекта диагностирования. Однако она может содержать избыточное количество проверок, в которых используется большое количество признаков. Поэтому возникает задача выбора минимального количества проверок и признаков, достаточных для решения задач контроля и диагностики.
Пусть в результате анализа объекта диагностирования была составлена функциональная модель и заполнена таблица состояний (табл. 2.6).
Таблица 2.6
Таблица состояний с избыточным числом проверок
|
\ s |
S0 |
S1 |
S2 |
S3 |
S4 |
S5 |
S6 |
S7 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
5 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
6 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
7 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
8 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
9 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
10 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
11 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
12 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Отсутствие одинаковых столбцов в таблице свидетельствует о том, что выбранный набор элементарных проверок (признаков) позволяет различать все восемь состояний, то есть таблица является проверяющей и различающей. Однако этот набор проверок является избыточным и необходимо провести оптимизацию их количества. Оптимизация тестов и выбор минимального количества проверок (признаков) осуществляется в несколько этапов [36].
Первый этап
Выполняется оценка проверок (признаков) на их информативность. На этом этапе отбрасываются те признаки или проверки, которые в строке имеют все нули или все единицы. То есть отбрасываются проверки (признаки), которые не различают состояния, занесенные в таблицу. В нашей таблице такой проверкой является проверка 12.
Второй этап
Просматриваются все проверки (признаки) на предмет их тождественности отображения состояния, то есть просматривается таблица на предмет наличия одинаковых строк. Из тождественных признаков вбираются, как правило, те, которые проще всего измерить. В нашей таблице одинаковые строки соответствуют проверкам 1 и 10, а также 8 и 11. Следовательно, из представленного в таблице комплекса проверок следует исключить проверки 10, 11, 12 как неинформативные.
Полученная в результате таблица также является проверяющей и различающей. Однако и эта совокупность проверок все еще остается избыточной. Если бы объект контроля был идеально приспособлен для диагностики, то минимальное число проверок J, необходимое для распознавания N состояний, определялось соотношением J = log2N. В нашем случае для разделения восьми технических состояний выполняется девять проверок, что явно не соответствует этому соотношению. Поэтому проводится третий этап оптимизации, который может выполняться различными методами [24, 26, 35].
Наиболее часто используют метод определения минимального набора прове-рок (признаков) с помощью общей различающей логической функции и таблич-ный метод минимизации теста по максимальному числу вхождений проверок в различающую функцию.
Первый метод является математически строгим, позволяет выбрать оптимальный тест, но он достаточно трудоемок. Поэтому рассмотрим более простой и наглядный табличный метод.
Табличный метод минимизации теста по максимальному числу
вхождений проверок в различающую функцию
Перепишем табл. 2.6, исключив из нее неинформативные проверки 10, 11, 12. Полученная в результате исключения этих проверок таблица представлена ниже.
Таблица 2.7
Таблица состояний с избыточным числом проверок
|
\ s |
S0 |
S1 |
S2 |
S3 |
S4 |
S5 |
S6 |
S7 |
W |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
7 |
|
2 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
12 |
|
3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
15 |
|
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
15 |
|
5 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
16 |
|
6 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
15 |
|
7 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
16 |
|
8 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
16 |
|
9 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
12 |
Пусть в j-й строке результаты проверки j примут значение, равное единице, mj раз, а значение, равное нулю, nj раз.
Под числом вхождений
проверок (признаков) данной строки
понимают произведение количества нулей
на количество единиц:
.
(2.6)
В последнем столбце табл. 2.7 приведены значения числа вхождений, подсчитанные для соответствующих проверок (строк). Максимальное число W =16 для трех проверок 5, 7, 8. В тест следует выбрать одну из этих проверок. Выбирается тот признак или проверка, которые проще измерить. Например, возьмём проверку под номером пять.
Далее таблица перестраивается таким образом, чтобы она разделялась на две части. В левой половине этой таблицы собираются все состояния, у которых результат пятой проверки равен единице (S0, S5, S6, S7), а в правой половине все состояния, для которых результат равен нулю (S1, S2, S3, S4) (табл. 2.8).
Таблица 2.8
|
\s |
l = 1 |
l = 2 |
| ||||||
|
S0 |
S5 |
S6 |
S7 |
S1 |
S2 |
S3 |
S4 |
W | |
|
5 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0+3=3 |
|
2 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
3+3=6 |
|
3 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0+3=3 |
|
4 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3+0=3 |
|
6 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
3+4=7 |
|
7 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
4+4=8 |
|
8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
3+3=6 |
|
9 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
3+3=6 |
На втором шаге также считается количество вхождений для каждой проверки (строки) как сумма вхождений проверок, подсчитанных для первой и второй половин табл. 2.8:
.
(2.7)
Полученные значения приведены в последнем столбце табл. 2.8. Макси-мальное значение числа вхождений имеет проверка под номером семь 7. Перестроим табл. 2.8 по 7 таким образом, чтобы новая табл. 2.9 делилась на четыре части, и чтобы в каждой из новых частей были собраны состояния, где 7 равна только единице или только нулю.
Таблица 2.9
|
\s |
l = 1 |
l = 2 |
l = 3 |
l = 4 |
| ||||
|
S0 |
S5 |
S6 |
S7 |
S3 |
S4 |
S1 |
S2 |
W | |
|
5 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
7 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
2 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
2 |
|
3 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
4 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
6 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
3 |
|
8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
2 |
|
9 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
2 |
На третьем шаге количество вхождений для каждой проверки определяется как сумма вхождений, подсчитанных для каждой из четырех частей таблицы:
.
(2.8)
Максимальное число вхождений имеет проверка 6. В результате проверки 5, 7, 6 не различают только два состояния S6 и S7. Из приведенных таблиц следует, что для их разделения необходимо выполнить проверку 2. Таким образом мы получаем минимальный тест для разделения восьми технических состояний, в которых может находиться объект, представленный табл. 2.6. В этот тест следует ввести проверки 5, 7, 6 и 2. При этом исходную табл. 2.6 следует преобразовать к окончательному виду (табл. 2.10)
Таблица 2.10
Таблица состояний с минимальным набором проверок
|
\s |
S0 |
S1 |
S2 |
S3 |
S4 |
S5 |
S6 |
S7 |
|
2 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
5 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
6 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
7 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
Из всего вышеизложенного можно построить дерево алгоритма определения технического состояния объекта диагностики, представленного табл. 2.6 и 2.10 (рис. 2.12).
S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7
5
5 = 1 5 = 0
S0 S5 S6 S7 S1 S2 S3 S4
7 7
1 0 1 0
S0 S5 S6 S7 S3 S4 S1 S2
6 6 6 6
1 0 0 0 1 0 1 0
S0 S5 S6 S7 S4 S3 S1 S2
2
1 0
S7 S6
Рис. 2.12. Алгоритм определения состояния объекта
И функциональная модель, и граф причинно-следственных связей в конечном итоге определяют математическую модель объекта в виде таблицы состояний. Задание оператора объекта диагностирования в табличной форме достаточно удобно. Однако в ряде случаев (например, когда параметры определены на непрерывном множестве) такое представление оператора невозможно. В таких ситуациях математическая модель может быть представлена в виде аналитических зависимостей между входными возмущениями, параметрами технического состояния и диагностическими параметрами.
В технической диагностике математические (диагностические) модели объектов, устанавливающие связь между входными возмущениями, параметрами технического состояния и диагностическими параметрами (признаками) в виде аналитических зависимостей (уравнений) называются аналитическими моделями. Эти аналитические модели (зависимости) чаще всего могут быть представлены в виде алгебраических или дифференциальных уравнений. Познакомимся с некоторыми подобными моделями.