Основные свойства операций над событиями

1. А+В=В+А, АВ=ВА - коммутативность

2. А+(В+С)=(А+В)+С=А+В+С,

А(ВС)=А(ВС)=АВС - ассоциативность

3. А(В+С)=АB+AС – дистрибутивность

4. А+А=А, АА=А

5.

6.

7.

Статистическое определение вероятности.

Вероятность события, характеризующую меру возможности его появления, можно определять по-разному. Рассмотрим частотный (статистический) подход к определению вероятности.

Пусть эксперимент при неизменных условиях повторяется n раз. Событие А иногда наступает, иногда нет. Если событие А в серии из n испытаний наступило n_A раз, то отношение называется относительной частотой события А.

Если для бесконечной последовательности испытаний , гдер – постоянное число, то, по определению, событие А имеет вероятность р: Р(А)=р.

Данное определение называется статистическим определением вероятности.

Достоинство частотного подхода – конструктивность, ясно как на практике определять вероятности событий. Недостаток частотного подхода – неизвестно, сколько опытов надо произвести для определения вероятности с заданной точностью.

Классическое определение вероятности.

Оно связано с понятием равновозможности элементарных исходов (неопределимое понятие, гипотеза, основанная на опыте и практике).

Предположим, что эксперимент имеет конечное множество элементарных исходов , причем из некоторых соображений следует, что они равновозможны (например, из соображений симметрии, опыта или здравого смысла).

Тогда положим и если, то.

При решении задач, связанных с этим подходом, надо подсчитывать число элементарных исходов, входящих в интересующее нас событие и общее число исходов. Для этого часто используются формулы комбинаторики. Приведем некоторые из них:

1. Комбинации элементов, выбираемых из различных групп.

Пусть имеется r различных групп, состоящих из каких-либо различных элементов. Первая группа содержит n₁ элементов , вторая группа содержитn₂ элементов , …, последняя группа содержитn_r элементов . Составляются всевозможные комбинации из r элементов различных групп, так что в каждую комбинацию входит только по одному элементу из каждой группы. Комбинации имеют вид . Две комбинацииисчитаются различными, если имеется хотя бы одна пара различных между собой элементов.

Число всех вариантов выбора (т.е. всех комбинаций) есть .

2. Выбор r предметов из n с возвращением.

Пусть имеется n различных предметов . Из этой совокупности последовательно выбираетсяr предметов таким образом, что выбираемый элемент фиксируется и возвращается обратно. Результатом выбора является комбинация вида . Комбинацииисчитаются различными, если хотя бы при одномk .

Число всех комбинаций, т.е. вариантов выбора есть .

3. Число размещений (выбор без возвращения)

Предположим, что r различных предметов размещаются по n ячейкам (в каждую ячейку можно поместить только один предмет).

Занумеруем все ячейки и все предметы. Тогда каждое размещение можно описать комбинацией вида , гдеi₁ - номер ячейки, в которую попал 1–ый предмет, i₂ - номер ячейки, в которую попал 2–ой предмет,…, i_r - номер ячейки, в которую попал r–ый предмет. Согласно формуле пункта 1 (), всего существует следующее число указанных размещений

.

Предположим, что имеется n различных элементов. Из этой совокупности выбирается r элементов. Рассуждая аналогично, получим, что число вариантов выбора r элементов из n различных предметов также есть

При r=n получим .

При этом два «выбора» считаются различными, если они отличаются либо элементами, либо порядком их следования.

Соответственно вышеприведенная формула также определяет число подмножеств размерности r множества из n элементов, где два подмножества считаются различными, если они отличаются либо элементами, либо порядком их следования.