Тема: Показатели вариации.

1. Статистическое изучение вариации в рядах распределения; меры вариации, дисперсия и коэффициент вариации

2. Виды дисперсий для сгруппированных данных, правило сложения дисперсий

3. Характеристика закономерностей рядов распределения

1. Статистическое изучение вариации в рядах

распределения; меры вариации, дисперсия и

коэффициент вариации

Понятие вариации ‑ вариацией признака называется изменение его величины у отдельных единиц совокупности. Средняя (любая) дает характеристику ряда распределения (совокупности) в целом: обобщенную или типичную характеристику. Но в экономике часто нужна информация об отклонениях, о колеблемости, о разбросе изучаемых величин. Т.е. средние могут быть равны, но разброс, отклонения данных различны и это интересует исследователя или управленца. Чем больше отклонение от средней, тем менее надежна сама средняя, так как вариация определяется большим числом воздействующих на нее факторов.

Поэтому анализ средних часто дополняют анализом показателей вариации.

В статистике используются такие меры (показатели) вариации: размах, среднее абсолютное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсия, коэффициент вариации.

1. Размах вариации ‑ разность между максимальным и минимальным значением признака:

Он характеризует пределы изменения признака. Средний размах: Rср. ‑ это есть средняя арифметическая из ряда размахов, полученных из серии равных по объему наблюдений. Используется в контроле качества продукции.

2. Среднее абсолютное отклонение (с.а.о.)

Если обозначим ряд: x₁, х₂…...х_n, его средняя ‑ , тогда: , , ..., ‑ по определению свойств средней арифметической, то

Т.е. - с.а.о. равно средней арифметической из абсолютных отклонений (модулей) признака всех единиц совокупности от средней арифметической.

Если отдельные значения признака повторяются, то:

, где

f - частота признака (используется редко).

3. Среднее квадратическое отклонение (с.к.о., - сигма) ‑ это есть квадратный корень из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической:

- простая; - взвешенная.

4. Дисперсия - это средний квадрат отклонений индивидуальных значений от средней арифметической.

- простая;

- взвешенная.

- средняя квадратов членов ряда распределения

- квадрат средней арифметической членов ряда распределения

Пример: Рассчитать дисперсию по данным таблицы

x	f	x2	x2f
135	10	18225	182250
145	50	21025	1051250
155	10	24025	2402500
165	115	27225	3130875
175	180	30625	5512500
185	45	34225	1540125
	500		13819500

Воспользуемся формулой:

= 12, 22

Свойства дисперсии (два свойства):

1. Уменьшение всех значений признака на одну величину А (Const) не меняет величины дисперсии, т.е., где (без доказательств).

2. Уменьшение всех значений признака в k раз уменьшает дисперсию в k² раз, т.е. и (без доказательств).

Дисперсия альтернативного признака (т.е. x=1 или 0). Показатель, который может обладать или не обладать каким-то признаком называется альтернативным. Если р - доля единиц в совокупности с данным признаком, то q=1-р – доля единиц без признака (х=0), N – общее число единиц совокупности, М – число единиц с данным признаком. Если

p+q=1, p=M/N, тогда , то есть среднее значение альтернативного признака равно доле р.

Тогда:

т.е. дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц с признаком – р на долю единиц без признака (1-р).

Отсюда , т.к. (p+q 1) то

Пример. Вычислим : В магазине проверено 100 телевизоров. 2 – забраковано. Найти

N=100 M= 2 p=0,02 q=1-0,02=0,98 и

При р=0,5 ‑ предельное значение

5. Коэффициент вариации. Сравнивать с.к.о. разных вариационных рядов (совокупностей) нельзя, т.к. наблюдения фиксируются в разных масштабах и разных единицах измерения. Соответственно и средние величины несопоставимы. Поэтому исчисляют % отношения с.к.о. к средней арифметической.

Это и есть коэффициент вариации. Это относительная мера вариации и позволяет сравнивать степень рассеянности данных в разнородных и разномасштабных вариационных рядах.

2. Виды дисперсий для сгруппированных данных,

правило сложения дисперсий

Часто в статистических исследованиях используются огромные массивы информации, которые разбиваются на группы по какому-либо признаку. Если совокупность данных сгруппирована на группы по какому-то признаку, то в этом случае при анализе рассеянности данных выделяются 3 вида дисперсий:

• Общая дисперсия

• Внутригрупповая дисперсия

• Межгрупповая дисперсия

Общая ‑ измеряет вариацию во всей совокупности

Внутригрупповая ‑ измеряет вариацию признака внутри группы:

, где - групповая средняя.

Средняя из внутригрупповых дисперсий исчисляется ,

где f – частота появления внутригрупповой дисперсии одной величины (одного размера).

, где m- число групп.

Межгрупповая дисперсия ‑ измеряет разброс групповых средних вокруг общей средней , т.е. измеряет вариацию, обусловленную признаком, положенным в основу группировки.

Общий закон (правило) сложения дисперсий: Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой дисперсии.

Показывает значение фактора, положенного в основу группировки (из всей совокупности факторов).

Коэффициент детерминации или эмпирическое корреляционное отношение – есть корень квадратный из отношения межгрупповой дисперсии к общей:

‑ характеризует влияние группировочного признака на результативный признак. При

‑ влияние других факторов = 0.

‑ влияние признака = 0.