Российский государственный геологоразведочный университет
Кафедра механики
Сопротивление материалов
Напряженное состояние материала в точке
Учебно-методическое пособие и контрольные задания для студентов дневного и заочного отделений геологоразведочного, гидрогеологического и геофизического факультетов РГГРУ
Москва, 2008 г.
Составители: г.В. Лукошков, е.С. Булгаков, в.А. Барашков, о.В. Бадулин.
Сопротивление материалов. Напряженное состояние материала в точке.
Учебно-методическое пособие и контрольные задания для студентов дневного и заочного отделений геологоразведочного, гидрогеологического и геофизического факультетов РГГРУ.
В работе рассмотрены аналитические и графические способы исследования напряжений в наклонных сечениях при растяжении (сжатии) для линейного и плоского напряженных состояний. Методы определения главных напряжений и положение главных площадок при плоском напряженном состоянии.
Разработаны варианты заданий по исследованию линейного и плоского напряженного состояния материала в точке.
Введение.
Предлагаемое учебно-методическое пособие является руководством и пояснением к выполнению расчетно-графической работы по курсу «Сопротивление материалов» для студентов очного и заочного отделений геологоразведочного, гидрогеологического и геофизического факультетов РГГРУ.
Выполнение данной работы позволяет закрепить полученные теоретические знания и практические навыки решения задач по сопротивлению материалов.
Расчетно-графическая работа состоит из трех основных частей и охватывает основные типы задач по определению напряжений материала в точке при линейном и плоском напряженных состояниях.
-
Основы теории.
1.1. Понятие о напряженном состоянии
Величина и направление вектора напряжения в точке зависят от того, как ориентирована проведенная плоскость сечения.
Возьмем упругое тело, на которое действуют нагрузки, и через точку А проведем ряд плоскостей сечения, тогда в каждом сечении в точке А будут действовать напряжения σ1, σ2,…, σn (рис. 1).
рис. 1
Через точку А можно провести бесчисленное множество плоскостей сечений, и в каждом из них будет действовать напряжение. Совокупность напряжений, действующих в данной точке во всех сечениях, проведенных через нее, называется напряженным состоянием в этой точке.
Для удобства изучения напряженного состояния в области этой точки проводят элементарный параллелепипед, грани которого стремятся к нулю, т.е. этот параллелепипед все время сжимается и стремится обратиться в рассматриваемую точку. На гранях этого параллелепипеда будут действовать напряжения в зависимости от того, как расположен параллелепипед. На его гранях могут действовать либо только нормальные напряжения, либо только тангенциальные напряжения, или, наконец, те и другие напряжения.
Возьмем элементарный параллелепипед в области точки А и так его сориентируем, чтобы на его гранях действовали только нормальные напряжения (рис. 2).
рис. 2
Условимся называть его грани главными сечениями, а нормальные напряжения, действующие на главных площадках – главными напряжениями.
Таким образом, будем иметь три пары главных площадок и три главных напряжения σ1, σ2 и σ3. Такое напряженное состояние, когда действуют три главных напряжения, называется объемным или трехосным.
Однако может быть такой случай, когда одно из главных напряжений обратится в нуль (σ3 = 0), тогда будут действовать только два главных напряжения σ1 и σ2. Такое напряженное состояние называется плоским или двухосным (рис. 3).
рис. 3
Возможен и еще более простой случай, когда будем иметь только одно главное напряжение σ1, остальные два σ2 и σ3 обратятся в нуль, такое напряженное состояние называется линейным (рис. 4).
рис. 4
Лучшим примером линейного напряженного состояния является простое растяжение или сжатие.
Нумерация главных напряжений производится не произвольно, а по следующему правилу. За первое главное напряжение (σ1), принимают наибольшее по алгебраической величине, а за третье (σ3) – наименьшее по алгебраической величине.
1.2. Линейное напряженное состояние
а) АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
Возьмем брус, который подвергается растяжению, найдем напряжения в наклонном сечении под углом α к поперечному сечению (рис. 5).
рис. 5
Для этого проведем наклонное сечение, отбросим верхнюю часть бруса и приложим внутренние силы, которые должны уравновесить нагрузку Р (рис. 6).
рис. 6
Все внутренние силы приведутся к одной равнодействующей силе N, направленной в противоположную нагрузке Р сторону. Причем N, где Fα – площадь наклонного сечения; р* - полное напряжение в наклонном сечении.
Так как (где F – площадь поперечного сечения), то можем записать
, но (σ – напряжение в поперечном сечении), отсюда
[1]
Построив вектор полного напряжения р* и разложив его вдоль внешней нормали к сечению и касательной к нему, получим нормальное напряжение в наклонном сечении σα и тангенциальное τα (рис. 7).
рис. 7
Если угол α получается поворотом внешней нормали против часовой стрелки, его считают положительным, в противном случае он будет отрицательным.
Определим σα и τα :
;
Подставив в эти выражения значение р* из формулы [1], получим:
[2]
Исследуя полученные выражения, найдем экстремальные значения σα и τα :
при α=0 σα max= σ cos200, т.е. σα max = σ,
Наибольшие нормальные напряжения действуют в поперечных сечениях;
при α=900 σα min= σ cos2900, т.е. σα min = 0,
Наименьшее значение, равное нулю, нормальные напряжения имеют в продольном сечении;
при α=450 , т.е. ,
Наибольшее тангенциальное напряжение действует в наклонном сечении под углом 450;
при α=0 , т.е.
В поперечном сечении (α=0) тангенциальное напряжение отсутствует. А нормальные напряжения = σαmax. Это сечение является главным. Главное напряжение имеет максимальное значение. Во всех других сечениях нормальные напряжения будут меньше, чем в главном.
Условимся нормальное напряжение считать положительным, если направление его вектора совпадает с направлением внешней нормали – это растягивающее напряжение, в противном случае будем считать нормальное напряжение отрицательным – сжимающее напряжение.
Тангенциальное напряжение считают положительным, когда его вектор получается поворотом внешней нормали по направлению движения часовой стрелки, в противном случае оно будет отрицательным.
б) ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ (построение круга Мора)
Известно главное напряжение σ1, равное напряжению в поперечном сечении при растяжении. Нужно определить напряжения в этой точке в наклонном сечении под углом α. Решить эту задачу надо графически.
Проводим оси координат. По оси абсцисс откладываем нормальные напряжения, а по оси ординат тангенциальные (рис. 8).
рис. 8
Отложим вдоль оси абсцисс значение главного напряжения σ в определенном масштабе. Получив отрезок ОА, разделим его пополам и из его середины (точка С) опишем окружность радиуса ОС=АС. Проведем из точки О луч под углом α с осью абсцисс до пересечения с окружностью (точка Дα). Для нахождения координат σα и τα соединим центр окружности с точкой Дα.
Из рис. 8 следует, что: ОКα= ОС + СКα, но , а из треугольника ДαСКα следует, что , но как радиус круга, поэтому:
.
Угол ДαСКα как внешний угол треугольника ОСДα равен сумме внутренних несмежных с ним углов, т.е. равен 2α.
Подставив полученные значения отрезков ОС и СКα в выражение для ОКα , получим: или
Окончательно получим , а
Сравнив эти выражения, замечаем, что абсцисса точки в определенном масштабе равна нормальному напряжению в наклонной площадке, т.е. .
Из треугольника СДα Кα следует, что Дα Кα = CДα sin2α, но , поэтому , а .
Отсюда следует, что ордината точки Дα в определенном масштабе равна тангенциальному напряжению в наклонной площадке, т.е. .
Таким образом, координаты точки Дα дают нам значения напряжений, действующих в наклонной площадке под углом α. При помощи построенного круга, называемого кругом напряжения, можно определить напряжения во всех сечениях, проведенных через рассматриваемую точку, т.е. круг определяет напряженное состояние в точке. Этот метод был предложен немецким исследователем Мором, и поэтому часто круг напряжений называют кругом Мора.
в) ЗАКОН ПАРНОСТИ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Определим нормальные и касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках.
Для площадки, наклоненной под углом α, по формуле [2] имеем:
Для взаимно перпендикулярной площадки при значении угла нормальные и касательные напряжения можно определить или непосредственно из условия равновесия верхней или нижней части стержня (рис. 9), или по формулам [2] с заменой α на .
Применяя формулы [2], получим:
рис. 9
Анализируя полученные результаты, видим, что, во-первых,
т.е. сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам постоянна и равна главному напряжению; во-вторых,
т.е. на двух взаимно перпендикулярных площадках действуют равные по величине и обратные по знаку касательные напряжения (закон парности или взаимности касательных напряжений). При этом касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках направлены оба либо к ребру пересечения площадок, либо от ребра, как на рис. 9.
Например, если изменить знак σ, то напряжения и изменят свое направление на противоположное и будут оба направлены к ребру А пересечения площадок.
Закон парности (взаимности) касательных напряжений имеет силу не только для одноосного, но и для любого другого напряженного состояния: двухосного и объемного.
1.3. Напряжения в наклонных сечениях при растяжении (сжатии) по двум взаимно перпендикулярным направлениям
а) АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ
Рассмотрим более общий случай плоского (двухосного) напряженного состояния, когда отличны от нуля два главных напряжения σ1 и σ2 (рис. 10а).
рис. 10
Как уже было отмечено ранее, индексы у обозначений главных напряжений ставятся так, что соблюдается неравенство σ1 > σ2, положительный угол α между направлением σ1 и нормалью к произвольной площадке будем отсчитывать против часовой стрелки.
Между направлением напряжения σ2 и площадкой угол равен .
Напряжения σα и τα в произвольном наклонном сечении можно или определить из условий равновесия трехгранной призмы АВС (рис. 10б), или вычислить по формулам [2], суммируя напряжения от действия σ1 с напряжениями от действия σ2 (при замене угла α на угол ).
В результате получим откуда
[3]
Далее откуда
[4]
Из формулы 4 видно, что максимальные касательные напряжения равны полуразности главных напряжений
[5]
и имеют место в сечениях, наклоненных под одним и тем же углом к направлениям σ1 и σ2, т.е. при α=45˚. Это следует из условия, что τmax соответствует sin 2α=1.
Определив касательные напряжения на площадке, перпендикулярной к площадке АВ, убедимся, что и для двухосного напряженного состояния сохраняет свою силу закон парности касательных напряжений. В этом можно убедиться также по формуле [4], определив по ней значения и .
Частные случаи
1-й случай. Рассмотрим напряженное состояние, при котором σ1= σ2= σ (рис. 10в).
в этом случае на всех площадках, проходящих через исследуемую точку, касательное напряжение равно нулю, а нормальное напряжение имеет одно и то же значение σα = σ (см. формулы [3] и [4]). Такое напряженное состояние называется равномерным двухосным растяжением (или сжатием).
2-й случай. Рассмотрим напряженное состояние, представленное на рис. 10г, характеризующееся главными напряжениями σ1= σ и σ3= - σ. При этом σ2= 0.
Определим напряжения в сечениях, одинаково наклоненных к направлениям σ1 и σ3, т.е. при α=45˚ и α=135˚ .
По формулам [3] и [4] получим σα = 0; =±σ. Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом.
б) ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
Пусть известны главные напряжения σ1 и σ2, требуется определить напряжения на площадке под углом α. Проведем координатные оси. По оси абсцисс отложим главные напряжения σ1 и σ2 (рис. 11), получим отрезки ОА и ОВ. Отрезок АВ разделим пополам, получим точку С. Точку С примем за центр круга, и опишем его радиусом СА = СВ.
рис. 11
Из точки В проведем луч под заданным углом α к оси абсцисс до пересечения с кругом, найдем координаты точки пересечения луча с кругом Дα.
Из рис. 11 следует: ОКα = ОВ + ВС + СКα;
Подставив полученные значения отрезков ОВ, ВС и СКα в выражение для отрезка ОКα, получим:
После преобразований получим
Сравнив приведенные выше выражения, приходим к выводу, что абсцисса точки Дα представляет нормальное напряжение на наклонной площадке, т.е. .
Найдем ординату точки Дα . Из треугольника Дα СКα следует:
поэтому
так как , то
Таким образом, ордината точки Дα выражает тангенциальное напряжение на наклонной площадке .
Для определения напряжений на перпендикулярной площадке к данной, строим двойной угол (2β=180˚+2α), путем продолжения радиуса СДα до пересечения с кругом получаем точку Дβ, координаты которой и есть напряжения на этой площадке.
Таким образом, координаты любой точки круга дают напряжения на наклонных площадках, т.е. круг определяет напряженное состояние в данной точке.
1.4. Определение главных напряжений и положения главных площадок при плоском напряженном состоянии
а) АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Данная задача обратна предыдущей. Теперь известны нормальные и касательные напряжения, действуя по граням элемента (рис. 12.а). требуется определить положение главных площадок (угол φ) и величину главных напряжений (σmax и σmin). Рассмотрим равновесие трехгранной призмы с основанием АВС (рис. 12.б). Примем, что σα>σβ. Угол φ будем отсчитывать от направления большего напряжения до нормали к площадке. За положительное направление отсчетов угла φ примем направление против часовой стрелки.
рис. 12
Площадь наклонной грани обозначим через dF. Тогда площадь вертикальной грани будет dF sin φ, а горизонтальной - dF cos φ.
Проектируя все силы на направление σφ, получим
Проектируем теперь все силы на направления τφ
Сократив на dF и введя функции двойных углов, получим:
[6]
[7]
При изменении угла наклона площадки φ величина σφ будет непрерывно изменяться.
Чтобы отыскать положения главных площадок, т.е. площадок, на которых действуют экстремальные нормальные напряжения, следует либо приравнять нулю производную , либо приравнять нулю касательные напряжения τφ, так как на главных площадках касательных напряжений нет.
В обоих случаях получаем следующую зависимость для определения угла φ0 наклона главных площадок:
или
[8]
Для получения экстремальных значений нормальных напряжений, т.е. величин главных напряжений, значение угла из формулы [8] подставим в формулу [6]. Предварительно тригонометрические функции в формуле [6] следует выразить через тангенс двойного угла. Для этого используют известные формулы тригонометрии:
После несложных преобразований, которые необходимо сделать учащемуся самостоятельно, получим следующую формулу для определения величин главных напряжений
[9]
Если одно из заданных нормальных напряжений равно нулю, то формула [9] упростится и примет вид
[10]
Этой формулой будем пользоваться в дальнейшем при изучении изгиба и сложного сопротивления.
Исследуя вторую производную можно убедиться, что на главной площадке под углом φ0 при принятых условиях (σα>σβ) действует максимальное главное напряжение, а на площадке под углом φ0+90˚ действует минимальное главное напряжение.
Пример. Определить величину и направление главных напряжений в случае напряженного состояния, показанного на рис. 13.1.
рис. 13
Р е ш е н и е. По формуле [8] определяем положение главных площадок, перпендикулярных плоскости чертежа
Знак «минус» показывает, что φ0 отсчитывается от направления σα=30 мПа по часовой стрелке.
По формуле [9] получим:
В соответствии со сказанным выше σmax действует на площадке под углом φ0, σmin – на площадке под углом φ0 + 90˚.
б) ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ ГРАФИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
При известных σα, σβ и τα необходимо графически определить направление и величину σmax = σ1 и σmin = σ3. Графическое построение (рис. 14.1).
Принимаем масштаб напряжений. Проводим оси прямоугольной системы координат. Отложим на оси нормальных напряжений σα = OKα и σβ = OKβ. Восстанавливаем перпендикуляры к оси σ, отложив на них отрезки КαДα = τα и КβДβ = τβ (направление τα и τβ принимаются в зависимости от знаков напряжений). Соединив точки Дα и Дβ, получаем центр С круга Мора. Радиусом С Дα или С Дβ описываем окружность, пересечение которой с осью нормальных напряжений дает точку А и В. Тогда ОА=σ1 и ОВ= σ3. Чтобы получить направление 1-го и 2-го главных напряжений на круге Мора, необходимо воспользоваться полюсом М.
рис. 14
-
Зависимость между деформациями и напряжениями при плоском напряженном состоянии. Удельная работа деформации.
Пусть брус прямоугольного сечения (рис. 15) растягивается по двум взаимно перпендикулярным направлениям х и у напряжениями σ1 и σ2. Определим относительные удлинения, которые получит брус в направлениях осей х, у и z.
рис. 15
Если бы на брус действовало одно растягивающее напряжение σ1, то относительное удлинение в направлении растяжения согласно закону Гука было бы равно а по осям у и z брус получил бы относительные укорочения
Аналогично этому при действии только одного растягивающего напряжения σ2 относительное удлинение в направлении растяжения было бы равно а по осям х и z брус получил бы относительные укорочения
Следовательно, при одновременном действии напряжений σ1 и σ2 относительные деформации в направлениях осей х, у и z будут соответственно равны:
В общем случае объемного напряженного состояния относительные деформации ε1, ε2 и ε3 соответственно будут равны:
[11]
Частные случаи. 1) Простое растяжение: σ1= σ, σ2= 0, σ3=0; тогда по формуле [11] получим:
2) Растяжение по двум взаимно перпендикулярным направлениям, если σ1= σ2= σ; σ3=0; тогда из формул [11] получим:
Если напряженное состояние плоское, т.е. σ3=0, и известны относительные деформации ε1 и ε2, то из формул [11] легко определяются напряжения σ1 и σ2:
Этими формулами часто пользуются при экспериментальном определении напряжений, измеряя ε1 и ε2.
Найдем теперь выражение удельной работы деформации при растяжении или сжатии по двум направлениям. Удельная работа деформации при растяжении (сжатии) в одном направлении выражается формулой
[12]
При плоском напряженном состоянии, ориентируя грани кубика со стороной, равной единице, по площадкам, где действуют напряжения σ1 и σ2, получим:
Подставив сюда значения ε1 и ε2 из формул [11], при σ3 = 0 будем иметь:
или
[13]
Это и есть выражение удельной работы при плоском напряженном состоянии.
Пример. Определить относительные деформации бруса ε1 и ε2, если растягивающее напряжение σ1=60 МПа, а сжимающее σ2=- 75 МПа (рис. 16). Модуль упругости Е=2,2·105 МПа. Коэффициент Пуассона μ=0,3.
Решение. На основании формул [11] имеем:
рис. 16