Рекурентні
співвідношення
1
Кролики Фібоначчі
Раміна
Плачідо
2
А ж
|
|
ч |
|
|
|
А ж |
|
B ж |
1-й місяць |
|
ч |
|
ч |
|
А ж |
|
C ж |
B |
ж |
ч |
|
ч |
ч |
2-й місяць |
|
|
|||
А ж |
D ж |
C ж |
3-й місяць |
|
B ж |
E ж |
|||
ч |
ч |
ч |
ч |
ч |
|
|
|
|
4-й місяць |
1,2,3,5,8,13,21,34,...
3
Кролики (числа) Фібоначчі
F(n) - кількість пар кроликів на n-му місяці
F(0)=1, F(1)=2
F(n-1) - кількість статтєво зрілих пар на n-му місяці
F(n+1)= F(n)+F(n-1)
4
Рекурентні
співвідношення
f(n+k)=a1f(n+k-1)+a2f(n+k-2)+……(1) …..+ak-1 f(n+1)+akf(n)
лінійне, однорідне, k-го порядку рекурентне співвідношення
f(n) - розв’язок
5
Лема 1
Розв'язок f(n) рекурентного співвідношення (1) однозначно визначається першими k значеннями f(0), f(1), f(2),…f(k-1).
n=0 (1) f(k) = a1f(k-1)+a2f(k-2)+……+akf(0) Стають відомими f(0), f(1), f(2),…f(k-1), f(k)
n=1 (1) f(k+1) = a1f(k)+a2f(k-1)+……+akf(1) Стають відомими f(0), f(1), f(2),…f(k-1), f(k), f(k+1)
n=2 (1) f(k+2) = a1f(k+1)+a2f(k)+……+akf(2)
Стають відомими f(0), f(1), f(2),…f(k-1), f(k), f(k+1), f(k+2)6
………………………
Як “обчислити” f(r)
if r<k
then return(f[r]) else
for j:=k to r do
begin (*обчислення f[j] через f[j-1],f[j-2],…*)
s:=0 ; |
|
for i:=1 to k do s:=s+a[i]*f[j-i]; |
|
f[j]:=s; |
|
end (*обчислення f[j]*); |
|
return(f[r]) |
7 |
Характеристичне рівняння
k=a1 k-1+a2 k-2+……+ak |
(2) |
Характеристичне рівняння для рекурентного співвідношення (1)
f(n+k)=a1f(n+k-1)+a2f(n+k-2)+……ak-1f(n+1)+akf(n)
f(n)= n
n+k=a1 n+k-1+a2 n+k-2+……+ak n
k=a |
k-1+a k-2+……+a |
k |
8 |
1 |
2 |
|
Лема 2
Нехай f1 (n), f 2 (n), . . . , f m (n) розв’язки
рекурентного співвідношення (1), c1 , c2 , . . . , cm довільні константи
тоді
f (n) c1 f1 (n) . . . cm f m (n)
також розв’язок співвідношення (1)
Лінійна комбінація розв’язків рекурентного співвідношення також є розв’язком 9
12.
+
f1(n+k)=a1f1(n+k-1)+…..+akf1(n) |
c1 |
f2(n+k)=a1f2(n+k-1)+…..+akf2(n) |
c2 |
fm(n+k)=a1fm(n+k-1)+…..+akfm(n) cm
c1f1(n+k)+….+cmfm(n+k)=a1(c1f1(n+k-1)+..+cmfm(n+k-1))+..
..+ak( c1f1(n)+….+cmfm(n))
f(n)=c1f1(n)+….+cmfm(n)
f(n+k)=a1f(n+k-1)+…..+akf(n) 10