Комбінаторні тотожності та співвідношення
1
Формула включень-
виключень
N - предметів (об'єктів) з властивостями a1,a2 ,...ak
N (ai |
,...,ai ) кількість предметів |
|
1 |
m |
|
з властивостями ai ,...,ai |
||
|
1 |
m |
|
) - кількість предметів, |
|
N (a1¢,...,ak¢ |
|
|
що не мають жодної з |
|
|
властивостей a1,..,ak |
2 |
|
8.
Формула включень-виключень
N ( 1,..., k )
N N ( i ) N ( i1 , i2 ) ... |
||
|
i |
i1 i2 |
( 1)s |
|
N ( i1 ,..., is ) |
i1 i2 ... is
... ( 1)k N ( 1,..., k )
3
8.
Доведення формули
Порахуємо скільки разів входить у праву |
||||
частину формули елемент a з властивостями |
||||
j , j |
2 |
,.... j |
r |
|
1 |
|
|
||
Для s r a входить в |
N ( i1 ,..., is ) Crs разів |
|||
i1 i2 ... is |
|
|||
Для s>r a входить в N ( i1 ,..., is ) 0 разів
i1 i2 ... is
4
8.
Доведення формули
Елемент, який має хоч які-небудь властивості в правій часті не рахується
N ( 1,..., k )
1 Cr1 Cr2
N N ( i ) N ( i1 , i2 ) ... |
|
1 i |
Cr1 Cr2 ... |
... ( 1)r Crr 0 0... 0 0 разів
Елемент, який не має жодної властивості в правій часті рахується 1 раз
|
|
) N N ( i ) N ( i1 |
, i2 |
) ... |
N ( 1,..., k |
||||
|
|
i |
|
|
1 - 0 |
+ 0 |
5 |
|
|
Приклад включень-виключень для 3-x властивостей
100-хлопців: самбо; карате; конфу
30-самбо; 50-карате; 40-конфу
15-самбо+карате; 10-самбо+конфу;
20-карате+конфу;
7-самбо+карате+конфу
слабаки=100-30-50-40+15+10+20-7=18
6
Формула включень-виключень для 3-x множин
B
A C
N ( A B C) N ( A) N (B) N (C)
N ( A B) N ( A C) N (B C)
N ( A B C)
7
9.Формула вкл-викл для підмножин
X ,X i X ,1 i n
N(Y) - кількість елементів в Y
i (x) x X i N ( X1 X 2 ... X n )
N ( X ) N ( Xi ) ... ( 1)n N ( X1 X 2 ... X n )
i
N ( X1 X 2 ... X n ) |
|
|||||
N ( X ) N ( |
X1 X 2 ... X n |
) |
|
|||
N ( X i ) |
N ( Xi1 X i2 ) .... |
|
||||
i |
n |
|
|
|
||
.... ( 1) |
N ( X1 ... X n ) |
8 |
||||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||
Функція Ейлера
(n) - кількість взаємнопростих з n та менших за n натуральних чисел
n p1n1 p2n2 |
... pknk |
pi |
прості |
||
1, 2 ,..., k |
: i (m) pi | m, m n |
||||
N ( i ,..., i ) |
|
n |
|
|
|
pi |
... pi |
|
|
||
1 |
s |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
s |
|
9
N ( i |
,..., i |
) |
|
n |
|
pi |
... pi |
|
|||
1 |
s |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
s |
Оскільки всі p1, p2, …pn взаємно прості, то щоб ділитися на
pi |
, pi |
,.... pi |
треба ділитися на m p |
p |
.... p |
1 |
2 |
s |
i1 |
i2 |
is |
таким чином в N ( i1 ,..., is ) враховуються числа:
m, 2m, 3m, ……... n
і їх буде n / m n / ( pi |
pi |
.... pi ) |
1 |
2 |
s |
10
10. |
Функція Ейлера |
|
(n) N ( ,... , ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n) n |
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
... |
|
|||||||||
p |
p p |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
i1 |
i2 |
|
|
|
|
||||||
|
( 1)n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
p p |
...p |
k |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
n(1 |
1 |
|
)(1 |
|
1 |
)...(1 |
|
|
1 |
|
) |
|
||||||||
p |
|
|
|
|
p |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
k |
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cnr 11 Cnr 21 ... Crr 11 Cnr
a1 , a2 |
,... , an |
ai1 ,... , air Cnr |
Tk |
min is |
k |
N (T ) Cr 1 |
1 k n r 1 |
k n k |
|
N (Tk ) Cnr
12
11. |
|
|
Cr 1 |
Cr 1 ... Cr 1 Cr |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
n 2 |
r 1 |
n |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(r,n-r) |
Всього шляхів |
Cnr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bk перші рівно k кроків вгору |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(1,k) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N (Bk ) Cn k 10 k n r |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(0,0)
n r
N (Bk ) Cnr 1k 1 Cnr k 0
13
Cn0 Cmk Cn1 Cmk 1 ... Cnk Cm0 Cnk m
Cnk m |
|
ai1 ,..., aik |
a1,...,an} {an 1,...an m |
Vi - вибірки з рівно i елементами у лівій множині
N (Vi ) Cni Cmk i 0 i k
k |
|
N (Vi ) Cni Cmk i Cnk m |
|
i 0 |
14 |
Cn0 Cmk Cn1 Cmk 1 . . . Cnk Cm0 Cnk m
(1 x) n (1 x) m (1 x) n m
0 i k xi |
xk i |
xk |
Cni |
Cmk i |
Cnk m |
k
Cni Cmk i Cnk m i 0
15