Потужність множин
Еквівалентні множини
1
Як ми рахуємо....
4
3 2
1 
2
Еквівалентні множини
множина A еквівалентна множині B A бієкція B
|
1,2,3, . . . |
|
|
0,1, 1,2, |
|||
|
|
|
|
|
|||
1 2 |
3 |
4 |
5 |
m ( 1) n |
|||
0 1 1 2 |
2 |
||||||
|
|
||||||
2, . . . .
n2
(0;1) (0,2) |
y=2 x |
|
|
|
|||
|
1 |
, |
3 |
|
1 |
x |
1 |
0,1 |
4 |
4 |
y |
2 |
4 |
||
|
|
|
|
||||
(0,1)
y tg( x /2)
3
Скінченні, зліченні, континуальні
A – скінченна n A {1,2,3,…,n}
А – нескінченна А не є скінченною
A – зліченна A N={1,2,3,…,n,…} A={a1,a2,a3,…..}
А – не більш ніж зліченна А – зліченна або А - скінченна
A – континуальна A =(- ;+ )
4
Лема. Об’єнання зліченної та не більш ніж зліченної множин – є множина зліченна
A N A {1,2,3,…} A={a1,a2,a3,..} B N B {1,2,3,…} B={b1,b2,b3,..} C {1,2,3,….n} C={c1,c2,…cn} A C={c1,c2,…cn,a1,a2,a3,..}
A B= {a1,b1,a2,b2,a3,b3,..} 2 i-1 ai 2 i bi
5
Лема: Декартов квадрат зліченної множини є множина зліченна
N N N, N={1,2,3,…..,n,…}
N N={(1,1);(2,1);(1,2);(3,1);(2,2);(1,3);….}
(11,)1 |
(1,2)3 |
(1,3)6 |
|
1 |
|
4 |
5 |
|
(2,1)2 |
(2,2)5 |
(2,3) |
(11,) |
|
(1,2) |
|
(1,3)6 |
|
(3,1) |
4 |
(3,2) |
(3,3) |
(2,1)2 |
(2,2)3 |
(2,3) |
||
|
(3,1) 9 |
(3,2)8 |
(3,3)7 |
|||||
|
|
N N={(1,1);(2,1);(2,2);(1,2);(1,3);(2,3);(3,3);(3,2);(3,1);….} |
|
6 |
||||
Лема про зліченну підмножину
З нескінченної множини можна виділити зліченну підмножину
A a1 A A\{a1} a2 A\{a1}
…………………………
A\{a1,a2,…ak-1} ak A\{a1,a2,…ak-1} |
|
………………………… |
7 |
Лема про нескінченну підмножину
Нескінченна підмножина зліченної множини - зліченна
A={a1,a2,a3,a4,..} B A B={ak1,ak2, ak3, ak4,..} k1≤ k2≤ k3≤…..
N B : i aki
B ak1 min k j | ak j B} 1 ak1
.............................................................
B нескінчене B \{ak1 , ak1 ,..., ak1 } ki min k j | ak j B \{ak1 , ak1 ,..., ak1 } i aki
8
Лема про раціональні числа
Множина раціональних чисел R зліченна
r=n/m (n,m)Z N, n Z,m N 2/5=4/10=6/15
Z,N – зліченні Z N – зліченне R Z N, R – нескінченна
R - зліченна
9
Лема про об’єднання
А – нескінченна, В – не більш ніж зліченна тоді А В А, об’єднання А та В еквівалентно А
Виділимо зліченну множину А1 А тоді А1 В також зліченна множина
зліченні множини еквівалентні між собою А1 А1 В
А = ( А \ А1 ) А1
як зліченні множини
А В = ( А \ А1 ) ( А1 В )
Тоді А А В
10