Бінарні відношення
Декартовий добуток
A B={(x,y) | x A,y B}
{чоловіки} {жінки}={сімейні пари}
1
Бінарні відношення
На множині А задано бінарне відношення, якщо задана множина R А А .
Бінарне відношення позначається R, так само, як і множина, яка його задає.
x та y з множини А знаходяться у відношенні R, якщо (x,y) R .
Те, що x знаходиться у відношенні R з y
скорочено позначається xRy . 2
Приклади бінарних відношень
ІА={ (x,x) | xA } – відношення рівності на множині А
х знаходиться у відношенні ІА з у або х ІА у або х = у або х рівне у
R≤={ (x,y) | x≤y; x,y D } – відношення нестрогої нерівності
хзнаходиться у відношенні R≤ з у або х R≤ у або
х≤ у або х менше або рівне у
D={(n,m) | n ділиться націло на m; n,m N}
– відношення ділитися націло
n ділиться націло на m або n | m
3
Графік відношення
m
4
3
2
1
0
Графіком бінарного відношення R A A будемо називати графічне зображення множини R.
D N N, n D m n ділиться націло на m
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
n |
4 |
Графік відношення рівності
ІА={ (x,x) | x D } |
Y |
|
X
5
Графік відношення нерівності
Y
R≤={ (x,y) | x≤y; x,y D }
x≤y
X
6
Операції над відношеннями
Добуток (композиція) відношень
(x, y) R Q z(x, z) R,(z, y) Q
xR Qy z xRz, zQy
7
Операції над відношеннями
Обернення відношення
(x,y) R-1 (y,x) R xR-1y yRx
8
Співвідношення для операцій над відношеннями
1.IA R R IA R
2.(R 1) 1 R
3.(R Q) 1 Q 1 R 1
9
Доведення I A R R
(x, y) I A R
z(x, z) I A , (z, y) R
x z, (z, y) R
(x, y) R
10