2. Определители

Определителем (детерминантом) n-гопорядка называется числовая характеристика квадратной матрицыAразмера, вычисляемая по определенному правилу (см., например,). Обозначается определитель одним из символов.

Определитель первого порядка – определитель для матрицы размера , состоящей из одного числа, – равен самому числу:

.

Для определителей второго и третьего порядков имеем:

; (1)

. (2)

При вычислении определителя третьего порядка удобно пользоваться следующей схемой (схема Саррюса):

Рис. 2

Определитель равен алгебраической сумме произведений элементов, соединенных на рисунке одной непрерывной линией. Для определителей порядка выше третьего подобных простых схем не составлено, и для вычисления надо использовать упрощения, основанные на свойствах определителей.

Введем несколько важных понятий.

Минором определителя−го порядка называется определитель, полученный из данного вычеркиванием−ой строки и−го столбца.

Алгебраическим дополнением к элементу определителяназывается выражение

.

Для вычисления определителя −го порядка справедливы рекуррентные формулы через определители ()−го порядка:

(3)

. (4)

Свойства определителей.

Так как определитель не меняется при транспонировании матрицы, свойства, приведенные ниже для строк, справедливы и для столбцов.

1. Определитель, имеющий нулевую строку равен нулю.

2. Определитель, у которого две строки равны или пропорциональны, равен нулю.

3. Общий множитель строки можно выносить за знак определителя.

4. Перестановка двух строк определителя изменяет знак определителя.

5. Если строку определителя умножить на постоянное число и прибавить к другой строке, то определитель не изменится.

6. Сумма произведений элементов строки на соответствующие алгебраические дополнения к элементам другой строки равна нулю.

.

7. Определитель .

То есть определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.

8. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц: .

►Пример 2. Вычислить определители:

1) ,2) ,3), 4), 5).

Решение.

1) Определитель вычислим по формуле (1) .

2) Определитель вычислим по формуле (2) и по формулам (3,4) . По формуле (2)

.

Для вычисления по формуле (3) возьмем вторую строку (выбор строки произволен) и вычислим миноры и алгебраические дополнения к элементам этой строки

.

.

По формуле (3) имеем .

3) Заметим, что в определителе во втором столбце имеется два нуля. Воспользуемся формулой (4) и выберем для разложения второй столбец

.

4) Определитель имеет треугольный вид, следовательно,

.

6) Определитель имеет пятый порядок. Разложение по элементам строки (столбца) приводит к четырем определителям четвертого порядка, что в свою очередь дает для каждого из них четыре определителя третьего порядка. Многовато! Воспользуемся пятым свойством определителей. Умножим первую строку на минус единицу и прибавим ее ко второй строке. Затем последовательно первую строку умножим на минус два и прибавим к третьей строке; первую строку умножим на минус три и прибавим к четвертой строке: первую строку умножим на минус четыре и прибавим ее к четвертой строке. Замечаем, что первая строка при наших действиях остается неизменной, поэтому все операции можно сделать за один шаг перехода. Договоримся условно записывать сделанные операции над равенством перехода. Получаем

Упражнения.

1. Вычислить определители:

а) ; б); в); г); д);

е) ; ж)..

Ответы:

а) -12; б) 29; в) 87; г) 0; д) 48; е) 160; ж) 394.