Двухуровневое управление потоком заданий в серверной системе.

Рис. 2.1 Зависимость интенсивности потока ответов сервера μ от числа ожидающих обработки или обрабатываемых в данный момент запросов n при гистерезисном управлении

Для гистерезисного управления работа системы определяется параметрами и, притом 0 <L₁ < L₂ ,- интенсивность потока запросов, и - интенсивности потока ответов сервера для двух режимов работы.

Отличие от системы с одноуровневым управлением заключается в том, что переход между режимами работы серверной системы происходит, когда количество запросов к серверу, ожидающих обработки либо обрабатываемых в данный момент (длина очереди), достигает значения L₂. Обратный переход в режим работы без кеширования происходит, когда длина очереди уменьшается до значения L₁.

Пусть ,, тогда,.

Состояния системы определяются числом находящихся в системе запросов (длина очереди) и режимом работы (с кешированием или без кеширования).

Для состояний, соответствующих работе с первым сервером, каждому состоянию с длиной очереди при, гдепоставим в соответствие число.

Для состояний, соответствующих работе со вторым сервером, каждому состоянию с длиной очереди при, поставим в соответствие число.

Концептуальная модель двухуровневого управления потоком заданий в серверной системе

Рис. 2.2 Концептуальная модель гистерезисного управления потоком заданий в серверной системе

В представленной концептуальной модели отражены два режима работы сервера, в зависимости от размера буферной памяти. Согласно функциональной модели, серверная система производит смену между режимами работы, когда очередь запросов превышает L2, соответственно текущий размер буферной памяти при работе в первом режиме равен L2. Обратная смена происходит, когда размер очереди падает до L1. Размер буферной памяти второго сервера > L2

В зависимости от режима, в котором выполняется работа сервера, интенсивность ответов на клиентские запросы равна - при работе в первом режиме (с буферной памятью L2) и - при работе во втором режиме (с буферной памятью > L2).

Разработка приложения для определения показателей качества двухуровневого управления потоком заданий в серверной системе

Табл. 2.1

Параметры исследуемой системы

	System #3
	4*104
	4*105
Механизм управления	Гистерезисное
Параметры управления

— интенсивность потока ответов сервера для режима работы с первым сервером;

— интенсивность потока ответов сервера для режима работы со вторым сервером;

L₁ — интенсивность входящего потока запросов, при которой выполняется переход на другой сервер при гистерезисном управлении;

_L2 — интенсивность входящего потока запросов, при которой выполняется смена режима работы при гистерезисном управлении.

Параметры и для исследуемых систем отличаются между собой на порядок, что отражает увеличение интенсивности потока ответов.

Интенсивность поступления запросов - изменяемый параметр.

Параметры L для первой и второй системы из лабораторной работы №5 заданы равными параметрам L₁иL₂ системы соответственно с двухуровневым управлением. Исходя из этого и учитывая особенности гистерезисного управления, можно сделать предположение о том, что характеристики систем будут соотноситься следующим образом:

где ,,– характеристикиi-й системы.

Для оценки динамических характеристик реализуем необходимые функции в среде Matlab.

Функция gisterN(lam, m_1, m_2, L_1, L_2) вычисляет значение – среднее количество запросов, находящихся в системе, при гистерезисном управлении:

Рис. 2.3 Описание функции GisterN

Функция gisterQ(lam, m_1, m_2, L_1, L_2) вычисляет значение – среднее количество запросов, ожидающих обработки, при гистерезисном управлении:

Рис. 2.4 Описание функции GisterQ

function Q = gisterQ(lam, m_1, m_2, L_1, L_2)

%GISTERP returns average Q value for hysteresys control system

% k state number = queue length

% lam input intensity

% m_1 output intensity for 1st mode

% m_2 output intensity for 2nd mode

% L_1 hysteresis control 1st parameter

% L_2 hysteresis control 2nd parameter

r=lam./m_1;

r_1=lam./m_2;

q=L_2-L_1-1;

P_0=(1./(1-r)-((q+1).*r.^(L_1+q).*(r-r_1))./((1-r.^(q+1)).*(1-r_1))).^(-1);

Q=P_0.*(((r-(L_1+1).*r.^(L_1+1)+L_1.*r.^(L_1+2))./(1-r).^2 -(r-r.^(L_1+1))./(1-r))+(r.^(L_1 ).*(1-r))./(1-r.^(q+1) ).*((L_1-1).*(((r-r.^(q+1))./(1-r)-q.*r.^(q+1))./(1-r)+(r.^q.*r_1.*(q-(r_1-r_1.^(q+1) )./(1-r_1 )))./(1-r_1 ))+(((r-(q+1).*r.^(q+1)+q.*r.^(q+2))./(1-r).^2 -(r.^(q+1).*q.*(q+1))./2)./(1-r)+(r.^q.*r_1.*((q.*(q+1))./2-(r_1-(q+1).*r_1.^(q+1)+q.*r_1.^(q+2))./(1-r_1 ).^2 ))./(1-r_1 )) )+((1-r_1.^(q+1) ).*(1-r).*r.^(L_1+q))./((1-r.^(q+1) ).*(1-r_1 ) ).*((r_1.*(L_1+q-1))./(1-r_1 )+r_1./(1-r_1 ).^2 ) );

end

Рис. 2.5 Реализаций функций и построение графиков зависимостей в системе MatLab

Графики зависимостей и для исследуемых систем показаны на рис. 6.

Рис. 2.6 Графики зависимостей среднего количества запросов в системе и среднего количества ожидающих обслуживания запросов от интенсивности входящего потока запросов для исследуемых систем с одноуровневым и гистерезисным управлением потоком заданий

На рис. 6 величины и– характеристики дляi-й системы. Из графиков видно, что характеристики имонотонно возрастают с увеличением интенсивности входящего потока. Также видно, что среднее количество ожидающих обслуживания запросовприблизительно на 1 меньшесреднего количества запросов в системе , что соответствует сути данных характеристик.

При длина очереди не превышает порогового значенияL для систем с одноуровневым управлением и порогового значения для систем с гистерезисным управлением, так как система работает преимущественно с первым сервером. При приближении величинык значениюсистема работает преимущественно со вторым сервером; длина очереди на некотором интервале возрастает слабо, затем неограниченно возрастает. Присистема уже не в состоянии обработать входящий поток запросов, характеристикииопределить нельзя.

Выполняются следующие условия:

что соответствует сделанному ранее предположению.

Рис. 2.7 Описание функции GisterW

function W = gisterW(lam, m_1, m_2, L_1, L_2)

% k state number = queue length

% lam input intensity

% m_1 output intensity for 1st mode

% m_2 output intensity for 2nd mode

% L_1 hysteresis control 1st parameter

% L_2 hysteresis control 2nd parameter

r=lam./m_1;

r_1=lam./m_2;

q=L_2-L_1-1;

P_0=(1./(1-r)-((q+1).*r.^(L_1+q).*(r-r_1))./((1-r.^(q+1)).*(1-r_1))).^(-1);

W=P_0./lam.*(((r-(L_1+1).*r.^(L_1+1)+L_1.*r.^(L_1+2))./(1-r).^2 -(r-r.^(L_1+1))./(1-r))+(r.^(L_1 ).*(1-r))./(1-r.^(q+1) ).*((L_1-1).*(((r-r.^(q+1))./(1-r)-q.*r.^(q+1))./(1-r)+(r.^q.*r_1.*(q-(r_1-r_1.^(q+1) )./(1-r_1 )))./(1-r_1 ))+(((r-(q+1).*r.^(q+1)+q.*r.^(q+2))./(1-r).^2 -(r.^(q+1).*q.*(q+1))./2)./(1-r)+(r.^q.*r_1.*((q.*(q+1))./2-(r_1-(q+1).*r_1.^(q+1)+q.*r_1.^(q+2))./(1-r_1 ).^2 ))./(1-r_1 )) )+((1-r_1.^(q+1) ).*(1-r).*r.^(L_1+q))./((1-r.^(q+1) ).*(1-r_1 ) ).*((r_1.*(L_1+q-1))./(1-r_1 )+r_1./(1-r_1 ).^2 ) );

end

Рис. 2.8 Реализация функции GisterW и построение графика зависимости

На рис. 9 показаны графики зависимостей для исследуемых систем.

Рис. 2.9 Графики зависимостей среднего времени простаивания в очереди от интенсивности входящего потока запросов для исследуемых систем с одноуровневым и гистерезисным управлением потоком заданий

На рис. 9 величина – среднее время простаивания в очереди для i-й системы. Из графиков видно, что значение монотонно возрастает с увеличением интенсивности входящего потокапри; приблизком кфункцияимеет локальный максимум. При приближении величинык значениюна некотором интервале среднее время простаивания в очереди убывает, так как возрастает вероятность нахождения системы в режиме работы со вторым сервером. Приблизком кфункциянеограниченно возрастает. Присистема уже не в состоянии обработать входящий поток запросов, и характеристикуопределить нельзя. Также из графиков видно, что выполняется соотношение

что соответствует сделанному ранее предположению.

Рис. 2.10 Описание функции GisterS

function S = gisterS(lam, m_1, m_2, L_1, L_2)

% k state number = queue length

% lam input intensity

% m_1 output intensity for 1st mode

% m_2 output intensity for 2nd mode

% L_1 hysteresis control 1st parameter

% L_2 hysteresis control 2nd parameter

r=lam./m_1;

r_1=lam./m_2;

q=L_2-L_1-1;

P_0=(1./(1-r)-((q+1).*r.^(L_1+q).*(r-r_1))./((1-r.^(q+1)).*(1-r_1))).^(-1);

S=P_0./lam.*(r./(1-r).^2 -((q+1).*r.^(L_1+q).*(r-r_1 ))./((1-r.^(q+1) ).*(1-r_1 ) ).*((2.*L_1+q)./2+(1-r.*r_1)./((1-r).*(1-r_1 ) )) )-P_0./lam.*(((r-(L_1+1).*r.^(L_1+1)+L_1.*r.^(L_1+2))./(1-r).^2 -(r-r.^(L_1+1))./(1-r))+(r.^(L_1 ).*(1-r))./(1-r.^(q+1) ).*((L_1-1).*(((r-r.^(q+1))./(1-r)-q.*r.^(q+1))./(1-r)+(r.^q.*r_1.*(q-(r_1-r_1.^(q+1) )./(1-r_1 )))./(1-r_1 ))+(((r-(q+1).*r.^(q+1)+q.*r.^(q+2))./(1-r).^2 -(r.^(q+1).*q.*(q+1))./2)./(1-r)+(r.^q.*r_1.*((q.*(q+1))./2-(r_1-(q+1).*r_1.^(q+1)+q.*r_1.^(q+2))./(1-r_1 ).^2 ))./(1-r_1 )) )+((1-r_1.^(q+1) ).*(1-r).*r.^(L_1+q))./((1-r.^(q+1) ).*(1-r_1 ) ).*((r_1.*(L_1+q-1))./(1-r_1 )+r_1./(1-r_1 ).^2 ) );

end

Рис. 2.11 Реализация функции GisterS и построение графика зависимостей

На рис. 12 показаны графики зависимостей для исследуемых систем.

Рис. 2.12 Графики зависимостей среднего времени обслуживания от интенсивности входящего потока запросов для исследуемых систем

На рис. 12 величина – среднее время обслуживания для i-й системы. Из графика видно, что при на некотором интервале среднее время обслуживания не изменяется и равно приблизительно, так как система работает преимущественно в режиме с первым сервером. При приближении величинык значениюсреднее время обслуживания монотонно убывает и стремится к величине, так как увеличивается вероятность нахождения системы в режиме работы со вторым сервером. Также из графиков видно, что выполняется соотношение

что соответствует сделанному ранее предположению.

Вычислим характеристики работы систем, параметры которых определены в таблице 1, для двух заданных значений интенсивности входящего потока запросов к серверу . Результаты вычислений представлены в таблице 2.

Табл. 2.2

Характеристики работы системы при различной интенсивности входящего потока

			λ=3.7*104		λ=2*105
System #3		6.61		15.25
		1.55*10-4		7.13*10-5
		2.43*10-5		5.00*10-6

Рис. 2.13 Расчет характеристик системы при определенной интенсивности входного потока

Рис. 2.14 Расчет характеристик системы при определенной интенсивности входного потока

В таблице 2 величины ,,– характеристикиi-й системы: среднее количество запросов в системе, среднее время простаивания в очереди, среднее время обслуживания, соответственно.

Реализуем также функции, позволяющие построить графики дискретного распределения случайной величины N.

Функция gisterP(k, lam, m_1, m_2, L_1, L_2) вычисляет вероятность нахождения системы в состоянии k при гистерезисном управлении.

Рис. 2.15 Описание функции GisterP

Также построим для заданных значений интенсивности входящего потока графики распределения случайной величины N (количества находящихся в системе запросов) и проверим соответствие распределений полученным выше значениям

Рис. 2.16 Реализация функций Odrnour и GisterP И построение графиков зависимостей

Рис. 2.17 Стационарное распределение вероятности количества находящихся в системе запросов при интенсивности входящего потока 37000

Рис. 2.18 Стационарное распределение вероятности количества находящихся в системе запросов при интенсивности входящего потока 200000

На рис. 17, 18 величина – стационарная вероятность нахождения i-й системы в состоянии n при заданной интенсивности входящего потока.

Из графиков видно, что при λ=3.7*10⁴ < µ₁(рис. 17) вероятность нахождения системы в режиме работы первым сервером для всех исследуемых систем выше вероятности нахождения системы в режиме работы со вторым сервером. Это объясняется тем, что при данном значении переход в режим работы с кешированием приводит к быстрому уменьшению длины очереди и возвращению в режим работы без кеширования. При λ=2*10⁵ > µ₁(рис. 18) функции распределения для систем с одноуровневым управлением имеют ярко выраженный максимум вблизи значений n, равных заданным для систем параметрам L. Функции распределения для системы с гистерезисным управлением не имеет ярко выраженного максимума, т.е. дисперсия величины N значительно выше.

Характер графиков распределения при λ=2*10⁵ > µ₁позволяет сделать следующий вывод: система с одноуровневым управлением при высокой интенсивности входящего потока будет большую часть времени находиться в состоянии, при котором длина очередиN близка к

значению L. Это означает, что в системе будет происходить частое переключение из одного режима работы в другой, которое может негативно сказаться на динамических характеристиках системы при наличии временных затрат на переключение. Система с гистерезисным управлением лишена указанного недостатка, поскольку переключение между режимами работы происходит при различных значениях N.

Анализ графиков показывает, что значения средней длины очереди , вычисленные и приведенные в таблице 2, соответствуют распределениям вероятностей длины очередиN.

Подтверждение корректности функционирования разработанного приложения

Выполним проверку выполнения условия .

Проверка для системы с гистерезисным управлением:

Рис. 2.19 Подтверждение корректности функционирования разработанного приложения

Результат подтверждает выполнение условия равенства суммы стационарных вероятностей единице.

Вывод.

В ходе выполнения лабораторной работы получены знания об одноуровневом и двухуровневом управлениях потоками в серверной системе. Разработаны концептуальные модели одноуровневого и двухуровневого управления потоком заданий в серверной системе в инструментальной среде CmapTools.

С помощью Matlab написано приложение для определения показателей качества одноуровневого и двухуровневого управлений потоком заданий в серверной системе.

Проверено условие эквивалентности управлений. Для проверки использованы результаты разработанных приложений и прототипа. Получены новые знания об управлениях потоком заданий в серверной системе.