1.5Математическое ожидание

Следовательно:

α2=λ t [λ t+1]

Дисперсия простейшего потока:

DK =α2−M 2K =λ t (λ t+1)−(λ t)2 =λ t

Таким образом, дисперсия простейшего потока вызовов равна математическому ожиданию:

M K =DK =λ t

Из этого свойства простейшего потока следует важный для практики вывод: относительная колеблемость простейшего потока вызовов тем меньше, чем больше его математическое ожидание.

Относительная колеблемость оценивается коэффициентом вариации, отношением:

Рассмотрим два крайних случая: предельное значение, при котором относительная колеблемость равна нулю (соответствует детерминированному потоку) и второй случай при t →0 (относительная колеблемость будет беспредельно увеличиваться).

В первом случае, при трёх линиях потерь не будет, а η=100% , где

наблюдения, tзан — длительность занятия одного канала.

Чем выше относительная колеблемость потока вызовов, тем ниже среднее использование каналов в пучке при фиксированном качестве обслуживания (

P=const ). Этим свойством потока объясняется зависимость:

λ t – математическое ожидание числа вызовов, поступающих за [0,t ) . Отсюда эффективность системы телефонной связи тем выше, чем больше

интенсивность поступающего на систему потока вызовов. Это фундаментальное свойство случайных потоков вызовов широко используется в системах массового обслуживания: в телекоммуникациях для концентрации потоков вызовов строят телефонные станции большой ёмкости и коммутационные узлы; в торговле – супер- и гипермаркеты; на транспорте – крупные аэропорты и вокзалы.

Объединение и разъединение независимых простейших потоков: Объединение независимых простейших потоков с параметрами

λ1 ,λ2 , λ3 ,... , λi ,... , λn тоже будет простейшим потоком с параметром

n

λ=∑λi , равным сумме параметров объединяемых потоков.

Учитывая сказанное, для более эффективного обслуживания потоков вызовов желательно производить их объединение.

Без доказательства отметим ещё одно интересное свойство простейшего потока: при суммировании большого числа независимы ординарных стационарных потоков с практически любым последействием получается поток, сколь угодно близкий к простейшему. Аналогия: «при суммировании большого числа независимых случайных величин, подчинённых практически любым законам распределения, получается величина, приближённо распределённая по нормальному закону».

1.6 Закон распределения промежутков между вызовами простейшего потока.

Мы отмечали, что поток вызовов однозначно может быть определён

Это есть вероятность появления вызова за время t .

Это есть вероятность того, что за время t не появится ни одного вызова. Так как простейший поток не обладает последействием, то появление в момент

ti−1 вызова не влияет на появление вызова вдальнейшем. Поэтому:

P (zi t)=P0(t)=e−λt

Отсюда: F 1(t)=P( zi<t )=1−e−λt

Дж. Кендалл предложил это распределение называть Марковским. Функция распределения промежутков zi :

Закон распределения случайной величины с такой плотностью вероятности называется показательным (отрицательным экспоненциальным), Марковским. Таким образом, простейший поток вызовов можно однозначно задать либо:

Точнее:

∞∞

0

̄z=M ( z)=λ1 , отсюда λ=1̄z

Предыдущий интеграл берётся по частям:

∫t f (t) dt=∫u dv=[u v] ∞0 −∫v du

С учётом предыдущих обозначений, возьмём интеграл по частям:

раскрывается по правилу Лопиталя (берётся производная от числителя и знаменателя).

Показательный закон обладает следующим замечательным свойством: если промежуток времени, распределённый по показательному закону, уже длился некоторое время, то это не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка: он будет также показательным.

Следует отметить, что только показательный закон обладает этим свойством. Это свойство представляет собой, фактически, другую формулировку для «отсутствия последействия», которое является основным свойством простейшего потока.

Заканчивая рассмотрение свойств простейшего потока вызовов, следует отметить, что потоки вызовов, которые создают абоненты в реальных условиях подчиняются свойствам простейшего потока только при условии, если эти потоки создаются бесконечно большим количеством источников нагрузки. Однако достаточно точные результаты получаются при условии, если число источников нагрузки N на 2-3 порядка больше удельной интенсивности

абонентов должно быть не менее 100. В этом случае приближённо поток вызовов можно считать простейшим.

N Nλ (102÷103)