2.5 Оценка результатов измерения нагрузки. Понятие о доверительной вероятности
и доверительном интервале
|
Пусть имеется случайная величина x с математическим ожиданием |
|
M x |
и дисперсией |
Dx . Оба параметра неизвестны. Пусть над величиной |
x |
проведено n |
независимых измерений, давших результаты x1 , x2 , … , xn . |
Тогда в качестве оценки для математического ожидания естественно предложить среднее арифметическое наблюдаемых значений:
n
∑i 1 xi (1) mx= =n
Естественно потребовать от оценки mx , чтобы при увеличении числа измерений n она приближалась (сходилась по вероятности) к параметру
M x . Оценка, обладающая таким свойством, называется состоятельной.
lim mx=M x
n→ ∞
Кроме того, желательно, пользуясь величиной mx вместо M x , мы по крайней мере не делали систематической ошибки в сторону завышения или занижения, то есть чтобы выполнялось условие:
M [mx ]=M x
Оценка, удовлетворяющая такому условию, называется несмещённой. Оценка (1) является и состоятельной и несмещённой.
Состоятельная и несмещённая оценка дисперсии определяется из выражения:
|
n |
|
|
∑(xi−mx)2 |
(2) |
d x=i=1 |
||
|
n−1 |
|
При малом числе наблюдений требуется знать — к каким ошибкам может привести замена параметра M x его оценкой mx и с какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не выйдут за известные пределы? Для этого в математической статистике пользуются так называемыми доверительными интервалами и доверительными вероятностями.
Перейти к оглавлению>>> |
strelnikov.ws |
43 |
|
Пусть для параметра |
M x |
получена из опыта несмещённая оценка mx . |
||||||
Мы хотим оценить возможную при этом ошибку. Назначим некоторую |
|||||||||
достаточно большую вероятность β |
(например |
β=0.9 ; 0,95 ; 0.99 ) такую, |
|||||||
что событие с вероятностью |
β |
можно считать практически достоверным, и |
|||||||
найдём такое значение |
|
ε , для которого: |
|
||||||
P (mx−ε M x<mx+ε)=β |
|
|
|
|
|||||
|
Это равенство означает, что с вероятностью |
β неизвестное значение |
|||||||
параметра M x попадёт в интервал |
I β=(mx−ε ; mx+ε) : |
||||||||
|
|
|
|
|
I β |
|
|
|
|
|
|
|
M x |
mx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
εε
Вероятность β |
принято называть доверительной вероятностью, а |
|||
интервал |
I β – доверительным интервалом. |
|||
Если величина |
mx распределена по нормальному закону при числе |
|||
измерений |
n 30 , то доверительный интервал выражается в виде: |
|||
ε=Kβ σmx |
→ Iβ=(mx−Kβ σmx ; mx+Kβ σmx ) , где σmx =√ |
αx |
. |
|
n |
||||
Величина Kβ |
определяет для нормального закона число средних |
|||
квадратических отклонений, которое нужно отложить вправо и влево от центра рассеивания для того, чтобы вероятность попадания в полученный участок была равна β .
β=0.9 |
K β=1.64 |
|
|
|
|
β=0.95 |
K β=1.96 |
|
|
|
|
β=0.99 |
K β=2.58 |
|
|
|
|
β=0.999 |
K β=3.29 |
|
|
|
|
Перейти к оглавлению>>> |
strelnikov.ws |
44 |
Величина ε=Kβσmx |
является предельной ошибкой выборки при |
|||||||
заданной вероятности. |
|
|
|
|
||||
норм ε Kβ |
σx |
, где σx=√ |
|
, |
n – число измерений. |
|||
Dx |
||||||||
|
|
|||||||
√n |
||||||||
Это соотношение принимается при числе измерений n 30 |
||||||||
(нормальный закон распределения). |
|
|||||||
При числе измерений |
n<30 |
используется распределение Стьюдента |
||||||
(псевдоним английского математика В. Госсета). Распределение Стьюдента более пологое.
Стьюд.=Z n−1 |
|
σx |
|
, где n |
– число измерений. |
|
|
|
|
|||||||
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n−1 |
|
|
|
|
||||||||||||
Ниже приведены значения Zn−1 при |
Р=0.95 : |
|
|
|
||||||||||||
n−1 |
1 |
2 |
|
|
3 |
|
4 |
5 |
|
10 |
|
20 |
30 |
40 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zn−1 |
12.7 |
4.3 |
|
|
3.18 |
|
2.77 |
2.53 |
|
2.23 |
|
2.08 |
2.04 |
2.02 |
1.96 |
|
Кроме ошибок измерений могут быть ошибки вычислений (округление). Правило: ошибки вычислений должны быть примерно на порядок (то есть в 10 раз) меньше ошибки измерений.
Перейти к оглавлению>>> |
strelnikov.ws |
45 |