3.3 Стационарный режим. Распределение Эрланга
Естественно принять начальные условия:
P0(t)=1 ; P1(0)=P2(0)=...=Pv(0)=0
При включении системы в работу P0 (t) будет уменьшаться, а P1(t), P2 (t) ,… ,Pv (t) — возрастать. Но беспредельно вероятности
v
возрастать не могут, так как при любом фиксированном t : ∑ Pi(t)=1 .
i=0
Доказано, что для систем с отказами переходный процесс затухает и система при t →∞ переходит в стационарный, так называемый установившийся режим обслуживания, то есть при t →∞ все вероятности
P0 (t) ,P1 (t), … , Pv (t) стремятся к постоянным пределам |
P0, P1, … ,Pv ; а все |
их производные — к нулю. |
|
Чтобы найти предельные вероятности P0, P1, … ,Pv |
(вероятности |
состояний системы в установившемся режиме), заменим в уравнениях Эрланга все вероятности Pi(t), 0 i v , их пределами Pi , а все производные положим равным нулю. Получим следующую систему алгебраических уравнений:
−λ P0+β P1=0 ,
λ Pi−1−(λ+i β) Pi+(i+1) β Pi+1=0 , 0<i<v , }
λ P0−(λ+β) P1+2 β P2=0 ,
λ P1−(λ+2 β) P2+3 β P3=0 ,
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
λ Pv−1−v β Pv=0
v
К этим уравнениям необходимо добавить условие ∑ Pi(t)=1 .
i=0
Перейти к оглавлению>>> |
strelnikov.ws |
54 |
|
Решим систему этих уравнений относительно |
P0, P1, … ,Pv . |
|||||||||||
|
Из первого уравнения имеем |
P1=λ P0 . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
λ+β P1− |
|
|
β |
|
|||
|
Из второго — |
P2= |
λ |
P0 . |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 β |
2 β |
|
|||||
|
Подставляя вместо |
P1 |
значение, выраженное из первого уравнения, |
||||||||||
получим: |
|
P2= |
(λ+β) λ P0− |
λ |
P0= |
λ2 |
P0 |
|
|||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 β β |
|
2 β |
|
2 β2 |
|
||||
|
Обобщённый вид формулы: |
|
|
|
|
|
|||||||
Pi= |
λi |
|
P0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i! βi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Посмотрим, что собой представляет отношение |
||||||||||||
|
β : |
||||||||||||
|
λ – это параметр потока, численно равный для простейшего потока |
||||||||||||
интенсивности, то есть среднему числу вызовов в единицу времени; |
|||||||||||||
|
1 |
|
– математическое ожидание средней длительности одного вызова. |
||||||||||
|
β |
|
|
λ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
есть интенсивность поступающей телефонной нагрузки |
||||||||||||
λ 1 =A . |
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
β |
Выражение для |
Pi |
перепишется в следующем виде: |
||||||||||
|
|||||||||||||
Pi= Ai P0 i!
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
Для определения |
P0 воспользуемся условием нормировки ∑ Pi=1 : |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
i=0 |
|
v |
Ai |
|
P0= |
|
|
||||||||||||
|
v |
i |
|
||||||||||||||
∑ |
|
|
|
|
P0=1 |
, отсюда |
|
∑ |
A |
|
|||||||
i |
! |
|
|
||||||||||||||
i=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i! |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=0 |
|
|||
|
|
|
Окончательно выражение для Pi примет вид: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Ai |
|
|
v |
|
|
|
|
||||
Pi= |
|
|
i! |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
, |
0 i v , |
∑ Pi=1 . |
|||||||||||||
|
|
v j |
|||||||||||||||
|
|
|
∑ A |
|
i=1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
j=0 |
j! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Перейти к оглавлению>>> |
strelnikov.ws |
55 |
Огибающие:
При v →∞ распределение Эрланга переходит в распределение Пуассона.
Полученная выше формула для Pi была получена в 1917 году датским учёным А. К. Эрлангом и носит его имя. В 1957 году Б. А. Севастьяновым было показано, что эта формула справедлива при любом законе распределения времени обслуживания, лишь бы поступающий на коммутационную систему поток был простейшим, то есть для модели M /G/v<∞ .
Эту формулу часто обозначают следующим образом:
Pi=Ei , v( A)=Ei ( A) — вероятность того, что в произвольный момент времени стационарного режима в полнодоступном пучке ёмкостью v линий, на который поступает интенсивность телефонной нагрузки Y , создаваемая простейшим потоком вызовов, занято i линий.
Y i
Ei (Y )= v i!Y j
∑j 0 j!
=
Перейти к оглавлению>>> |
strelnikov.ws |
56 |
3.4 Потери в полнодоступном пучке при обслуживании простейшего потока вызовов
Качество обслуживания потока вызовов можно оценивать: а) величиной потерь по вызовам:
Pв=Cпост.−Cобсл. = |
|
Спот. |
|||||
|
Cпост. |
|
|
Спост. |
|
||
б) величиной потерь по нагрузке: |
|||||||
Pн=Y пост.−Y обсл. = Y пот. |
|||||||
|
Y пост. |
|
Y пост. |
|
|||
в) величиной потерь по времени — определяется как доля времени,
втечение которого заняты все линии — Pt .
Всамом общем случае имеет место соотношение:
Pн Pв Pt
Pt Pв , так как может быть такой случай, когда все линии заняты, но вызов
не поступает.
Pв Pн , так как длительность занятия линии повторными вызовами может быть значительно меньше средней длительности занятия.
Рассмотрим соотношение между |
Pн , Pв и Pt для рассматриваемой |
модели. |
|
Вероятности P0, P1, … ,Pi , … , Pv |
можно рассматривать как доли |
времени рассматриваемого промежутка (часа), в течение которого заняты 0,1,… ,i ,… ,v линий. Это утверждение представляет собой так называемую
Эргодическую теорему. Это утверждение мы примем без доказательства. Следовательно, в полнодоступном пучке, на который поступает простейший поток вызовов, потери по времени численно равны вероятности занятия v линий:
Pt=Ev , v ( A)=Ev ( A)
Пусть интенсивность нагрузки, поступающей на полнодоступный пучок линий, A создаётся Cпост. вызовами. Вызовы, которые поступают за долю часа Pv будут потеряны:
Cпот.=Cпост. Pv
Потери по вызовам:
Pв= Cпот. =Pv=Ev (Y ) Cпост.
Перейти к оглавлению>>> |
strelnikov.ws |
57 |
Определим потери по нагрузке. С этой целью определим нагрузку, обслуженную v линиями. Вспомним, что интенсивность нагрузки, обслуженной пучком линий, численно равна среднему числу одновременно занятых линий.
Y i
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
i! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
v |
Y i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Y обсл.=∑i Pi=∑i |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑i i! =... |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
v |
|
i |
|
|
v |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
i=0 |
|
|
|
|
|
|
i=0 |
|
|
∑ Y |
|
|
|
|
∑ Y |
|
|
i=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=0 |
i! |
|
|
|
|
i=0 |
i! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pн=Ev(Y ) |
|
|
||||||||||
|
|
|
Можно показать, что потери по нагрузке |
. Первый член во |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
второй сумме при |
i=0 |
|
|
равен нулю, поэтому суммирование можно начинать |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
с i=1 . Обозначим |
|
|
i−1=r |
|
|
, тогда при |
|
|
i=1 |
|
r=0 |
, а при |
i=v r=v−1 : |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Y |
|
|
|
|
v |
|
Y i−1 |
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
v−1 |
Y r = |
Y |
|
|
|
|
|
v−1 |
Y r +Y v −Y v |
|
||||||||||||||
...= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
=... |
||||||||||||||||||||||||||
|
v |
|
i |
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
i |
|
|
v |
|
|
i |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∑ |
(i−1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
r! |
|
|
|
|
|
r! |
v! |
v! ] |
||||||||||||||||||
|
∑ Y |
|
|
|
i=1 |
|
|
∑ Y |
|
|
|
|
r=0 |
|
∑ Y |
|
|
|
[r=0 |
||||||||||||||||||||||||||
|
i=0 |
i! |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
i=0 |
|
i! |
|
|
|
|
|
|
|
|
i=0 |
|
i! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
...= |
|
[∑r=0 |
Yr!r −Yv!v |
]=Y (1−Pv)=Y −Y Pv |
, где |
Y Pv=Y пот. . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
v Y i |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∑ |
i! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
i=0 |
|
|
|
|
Y |
|
|
=Y |
|
|
|
|
−Y |
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
=Y |
|
P |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Так как |
обсл. |
пост. |
пот. |
|
, то |
пот. |
|
v . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пост. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
P |
= Y пот. =Y пост. Pv =P |
|
=E |
|
|
(Y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
н |
|
|
Y пост. |
|
|
Y пост. |
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Таким образом, если полнодоступный пучок линий обслуживает простейший поток вызовов, то:
Pt=Pв=Pн=Ev (Y )=P
Y v
Ev (Y )= v v! i — эта формула, определяющая потери в полнодоступном
∑Yi!i=0
пучке получила название первой формулы Эрланга. Эта формула табулирована. Впервые таблицы составлены К. Пальмом и получили название таблицы Пальма. Уточнение этих таблиц выполнено Гелием Павловичем Башариным. У нас эти таблицы называют таблицами Башарина. Приняты обозначения
Y =λ и v=n .
Перейти к оглавлению>>> |
strelnikov.ws |
58 |