Теорема гаусса

Определение напряженности электростатического поля, создаваемого заряженными телами различной конфигурации с использованием закона Кулона и принципа суперпозиции, является достаточно трудоемкой задачей. Для заряженных тел с высокой степенью симметрии (сферической, цилиндрической и плоской) эта задача решается достаточно просто с помощью теоремы Гаусса.

ПОТОК ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. Понятие о потоке абстрактного вектора А через площадку S. Для нахождения этого потока необходимо выделить на площадке S элементарный участок dS, построить вектор А через площадку dS, нормаль n к площадке и найти проекцию вектора А на нормаль к dS. Величина А_ndS- это поток dФ вектора А через элементарную площадку. Интеграл по поверхности S от dФ – это и есть поток Ф вектора А через поверхность S: Ф=∫A_ndS.

В упрощенном выводе теоремы Гаусса источником поля является точечный заряд q, а поверхность интегрирования S- сфера радиусом r, концентричная данному заряду. Оказывается, что полученный при этом результат справедлив в общем случае - для любой замкнутой поверхности произвольной формы и произвольной системы зарядов.

ФОРМУЛИРОВКА ТЕОРЕМЫ ГАУССА: Поток вектора электростатической индукции через замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри поверхности интегрирования, деленной на ₀

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ГАУССА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ- по заданному распределению зарядов определить напряженность электростатического поля в заданной точке пространства. Использование теоремы Гаусса для определения напряженности электростатического поля имеет смысл только при определенных условиях, налагаемых на поверхность интегрирования. Либо силовые линии поля направлены параллельно поверхности интегрирования и тогда поток вектора Е через такую поверхность равен нулю, либо силовые линии поля направлены параллельно поверхности интегрирования и тогда поток вектора Е через такую поверхность равен нулю.

Напряженность поля точечного заряда

Поле сферы, равномерно заряженной по поверхности. r>R r<R Е=0

Поле шара, равномерно заряженного по объему r>R r<R (при r<R необходимо учитывать только заряды, которые находятся внутри поверхности интегрирования)

Поле прямой, бесконечной нити (цилиндра), равномерно заряженной по длине

Поле бесконечной плоскости, равномерно заряженной по поверхности

Поле двух параллельных бесконечных плоскостей, несущих равномерно распределенный заряд по поверхности, с одинаковой плотностью, но противоположный по знаку (поле плоского конденсатора)

ТЕОРЕМА ГАУССА И ЗАКОН КУЛОНА. При выводе теоремы Гаусса использовалось выражение для напряженности поля точечного заряда, полученное из закона Кулона. Однако закон Кулона - это экспериментально найденный закон, который, как и всякий эксперимент, произведен с некоторой погрешностью, т.е. С другой стороны площадь поверхности сферы 4πr²– это абсолютно точное математическое выражение. Предположим, что Δ≠0. Тогда в выражении для потока вектора Е через сферическую поверхность нельзя производить сокращение r² и r^2±Δ:

Если Δ≠0, то теряется смысл выражения «поток вектора Е», поскольку величина потока будет зависеть не только от величины заряда, создающего этот поток, но и от размеров замкнутой поверхности, через которую проходит этот поток. Кроме того в проводниках заряды смогут находиться не только на их поверхности, но и в объеме. Факт того, что при зарядке проводников электрические заряды располагаются только на их поверхности, был установлен Кавендишом задолго до экспериментов Кулона.

ТЕОРЕМА ГАУССА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ. Определим поток вектора Е через замкнутую поверхность в виде кубика со сторонами dx, dy, dz, используя теорему Гаусса, для чего поток вектора Е через выделенный объем dФ представим как сумму трех потоков через три пары параллельных граней: dФ= dФ_x +dФ_y+dФ_z. Компонента потока – dФ_x определяется разностью потоков входящего слева в рассматриваемый объем и выходящего из этого объема справа

Аналогичные выражения можно получить для dФ_у иdФ_z В итоге или

Лекция №6

РАБОТА ПО ПЕРЕМЕЩЕНИЮ ЗАРЯДА В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ. ПОТЕНЦИАЛ, РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ

РАБОТА ПО ПЕРЕМЕЩЕНИЮ ТОЧЕЧНОГО ЗАРЯДА В ПОЛЕ ДРУГОГО ТОЧЕЧНОГО ЗАРЯДА

Вычисление работы кулоновской силы уже рассматривалось в разделе «механика». Результат этих вычислений: .

РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ТОЧЕЧНОГО ЗАРЯДА. Будем считать, что заряд q₁ – источник электрического поля, в котором движется пробный заряд q₂. Отношение работы по перемещению пробного заряда в поле заряда q₁ к величине заряда q₂ не зависит от величины пробного заряда и поэтому может служить объективной характеристикой поля, создаваемого зарядом q₁. Разность потенциалов между начальной и конечной точкой перемещения пробного заряда

ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ТОЧЕЧНОГО ЗАРЯДА может быть определен из выражения для разности потенциалов с точностью до некоторой const:

Выбор const: При r→∞ сила кулоновского взаимодействия стремится к нулю, то наиболее естественно положить const=0 Потенциал поля точечного заряда – это скалярная, энергетическая характеристика поля, равная работе, совершаемой против сил электростатического поля, по перемещению пробного заряда из бесконечности в данную точку поля, отнесенная к величине этого пробного заряда.