Интеграл Дюамеля

Принцип наложения (суперпозиции) позволяет распространить результаты анализа линейных цепей при ступенчатых воздействиях на случаи произвольных воздействий.

Пусть к цепи с известной переходной характеристикой h(t) приложено воздействие в виде произвольной кусочно-непрерывной функции u(t). Для того, чтобы при анализе воспользоваться переходной характеристикой, которая является реакцией цепи на ступенчатое воздействие, необходимо данное воздействие u(t) представить в виде совокупности ступенчатых функций. Для этого разделим ось времени на равные малые интервалы x и разобьем функцию u(t) на сумму элементарных ступенчатых функций, включаемых через промежутки времени x (рис. 7).

Рис. 7

Амплитуда первой ступени равна u(0), амплитуда второй - u(t₁=x), амплитуда k-той - u(t_k=kx). Очевидно, что воздействие после такого разбиения представляется в виде ступенчатой кривой и может быть приближенно записано в виде совокупности смещенных единичных ступенчатых функций:

. (5)

Реакция цепи на воздействие, записанное в виде (5), согласно принципу наложения будет равна сумме отдельных реакций, вызванных каждым элементарным ступенчатым воздействием. Очевидно, что реакция на смещенную ступенчатую функцию будет равна смещенной переходной характеристике . Поэтому реакцию цепи u₂(t) на воздействие u(t) может быть приближенно представлено в виде:

(6)

Очевидно, что чем меньше интервал x, тем выше точность представления реакции (6). Для получения точной реакции необходимо

x  0. Тогда  , а сумма бесконечно малых величин превратиться в интеграл с пределами x = 0 (k = 1) и x = t (k = n). Реакция запишется в виде:

. (7)

Полученный результат называется интегралом Дюамеля. Он позволяет определить реакцию цепи на заданное воздействие по известной переходной характеристике.

Если воздействие кроме скачкообразного изменения при t = 0 имеет другие скачки, то их необходимо учитывать при записи интеграла Дюамеля. Например, допустим, что воздействие u(t) на интервале от t = 0 до t = t₁ изменяется по закону f₁(t), а при t > t₁ по закону f₂(t) (рис. 8). Причем в момент времени t = t₁ имеет место скачкообразное изменение на величину [f₂(t₁)  f₁(t₁)], которое можно представить как подключение в момент t = t₁ ступенчатой функции [f₂(t₁)  f₁(t₁)] 1(tt₁). Учитывая это, полную реакцию на данное воздействие можно записать в следующем виде:

для t < t₁ и

(8)

для t  t₁.

рис. 8.

Пример. Определить реакцию u₂(t) в RC-цепи рис. 4 на воздействие u₁(t) в виде прямоугольного импульса амплитудой U₀ и длительностью t₁ (рис. 9).

Рис. 9. Рис. 10.

Для решения задачи используем интеграл Дюамеля. Переходная характеристика данной цепи определена выше и равна

Поскольку воздействие кроме скачка при t = 0 имеет еще скачок при t = t₁ на величину U₀ , то воспользуемся (8.8), в котором необходимо положить f₁(t) = U₀ ; f₂(t) = 0; f₁(0) = U₀ ; f₂(t₁)f₁(t₁) = U₀ ;

f₁(x) = 0; f₂(x) = 0. При этих условиях из (8) получим искомую реакцию:

Примерный график u₂(t) представлен на рис. 10.