Ступенчатое воздействие. Функция Хевисайда. Переходная характеристика эц, ее связь с операторной передаточной функцией. Интеграл Дюамеля.

Единичная ступенчатая функция (функция Хевисайда) 1(t) определяется следующим образом:

1(t) = (1)

График функции 1(t) показан на рис. 1.

1(t)

1(t-)

Рис. 1. Рис. 2.

Функция 1(t) равна нулю при всех отрицательных значениях аргумента и единице при t  . Введем в рассмотрение также смещенную единичную ступенчатую функцию

1(t-) =

Такое воздействие включается в момент времени t = .

Напряжение в виде единичной ступенчатой функции на входе цепи будет при подключении источника постоянного напряжения U₀ =1 В при t = 0 с помощью идеального ключа (рис. 8.3).

Рис. 3.

Переходной характеристикой h(t) называется реакция цепи на воздействие в виде единичной ступенчатой функции 1(t). Переходная характеристика определяется при нулевых начальных условиях.

Переходная функция характеризует цепь в переходном режиме, так как она является реакцией на скачкообразные, т.е. довольно тяжелые для любой системы воздействия. Кроме того, как будет показано ниже, с помощью переходной характеристики может быть определена реакция цепи на произвольное воздействие.

Связь переходной характеристики h(t) с операторной передаточной функцией Н(р).

По определению, операторная передаточная функция

(2)

где - изображение воздействия цепи ( или );

- изображение реакции цепи ( или ).

Из (2) следует, что

. (3)

Если в качестве воздействия на цепь подать единичную ступенчатую функцию , то ее изображение будет . При этом реакцией цепи будет переходная характеристика цепи . Изображение реакции цепи можно найти, воспользовавшись выражением (3):

(4)

Формула (4) выражает связь между переходной характеристикой цепи и операторной передаточной функцией а также позволяет определять переходную характеристику цепи по известной операторной передаточной функции .

Пример. Определить переходную характеристику последовательной RC-цепи (рис. 4).

Воздействием является входное напряжение u₁(t)=, а реакцией - напряжение на емкости u₂(t)=.

Рис. 4. Рис. 5.

Найдем , для этого рассмотрим операторную схему замещения RC-контура при нулевых начальных условиях (рис. 5).

Определим , воспользовавшись (4)

Перейдем от изображения переходной характеристики к , воспользовавшись справочной таблицей, которая содержит пары оригинал  изображение для различных функций времени

График переходной характеристики показан на рис.8.6:

Рис. 6