–Область определения функции. –область значения функции.

Опр2. Отображение множества D в множество E называется взаимно однозначным , если любому элементу множества D соответствует единственное y из множества E , а разным x отвечают (обязательно) различные y.

Если отображение D в Е взаимно однозначно, очевидно определено обратное отображение (обратное однозначное соответствие) , т.е. обратная функция. Если «прямая» функция есть y = f (x) , то обратную функцию обычно обозначают -1

x=f (y)

Введем теперь понятие сложной функции (композиции отображений). Пусть даны три множества D, E, M и пусть f: D→E, g: E→M. Очевидно, можно построить новое отображение h: D→M, называемое композицией отображений f и g или сложной функцией .

Сложная функция обозначается следующим образом: z =h(x)=g(f(x)) или h = f o g.

Функция f (x) при этом называется внутренней функцией, а функция g(y) - внешней функцией.

Опр. 3: Элементарной функцией называется функция, состоящая из основных элементарных функций с помощью какого-либо числа арифметических операций и конечного числа образующих операций функции от функции.

Кроме того, требуется, чтобы эта функция была задана одним аналитическим выражением.

Неэлементарные функции – операции интегрирования, операции решения дифференциального уравнения, операции суммирования с бесконечным числом слагаемых и операции обратной функции с помощью нескольких аналитических изображений.

Неэлементарной является функция

Другим примером неэлементарной функции служит функция «целая

часть» (читается «антье») y = [x] – отображение, ставящее в соответствие вещественному числу результат его округления до ближайшего целого в меньшую сторону. Так [10.8]=10, а [2.7] = 3 .

Параграф 3: последовательность.

Опр. 1: Последовательностью называется множество чисел, пронумерованных с помощью чисел и расположенных в порядке возрастания номеров.

–общий член последовательности.

N – номер члена последовательности, играет роль аргумента функции. Фактически задает последовательность целочисленных аргументов.

–функция целочисленных аргументов.

Отметим, что последовательность – частный вид функции, а именно – функция N→R, т.е. отображение с областью определения на множестве натуральных чисел и областью значений на множестве вещественных чисел: x=f(n).

Задать последовательность – значит указать правило, позволяющее по номеру n находить значение . Обычно последовательность задается формулой вида xn = f (n) . Можно также задать последовательность с помощью рекуррентной формулы.

Простейшая рекуррентная формула выражает каждый следующий член

последовательности через предыдущий: xn1 = f (xn) . При этом нужно дополнительно задать первый член последовательности x1.

Вспомните известные вам определения арифметической и геометрической прогрессий.

Понятие ограниченной (сверху или снизу) числовой последовательности вводится также как для числового множества (поскольку последовательность – частный случай множества).

ПРИМЕРЫ:

1. – общий член последовательности.

;

2.

Будем различать последовательности, имеющие предел (они называются сходящимися), и не имеющие предела (расходящиеся). Общий член последовательности – переменная величина, значение которого определяется номером N. Эта величина является функцией аргумента N