1.3. Описание линейных дискретных систем во временной области

Во временной области основной характеристикой ЛДС является импульсная характеристика.

Импульсной характеристикой(ИХ)ЛДС называется ее реакция на цифровой единичный импульс при нулевых начальных условиях(рис. 1.6).

Рис. 1.6. К определению импульсной характеристики

Соотношение вход/выход ЛДС отображает взаимосвязь между ее входным и выходнымсигналами, т. е. реакцию ЛДС на произвольное воздействие.

Во временнойобласти соотношение вход/выход может описываться одним из двух разновидностейлинейных уравнений:

• формулой свертки(название уравнения), если для определения реакции используется импульсная характеристика;

• разностным уравнением, если для определения реакции используются параметры ЛДС (см. п. 1.3.2).

1.3.1. Формула свертки

Получим уравнение взаимосвязи между входным и выходнымсигналами для ЛДС, заданной своей импульсной характеристикой. Воспользуемся определением ИХ и свойствами ЛДС. Будем последовательно записывать соответствия, указываемые стрелкой, между воздействием и реакцией:

- по определению: воздействию в виде цифрового единичного импульса соответствует реакция, называемая импульсной характеристикой

→;

- на основании свойства инвариантности во времени для стационарных линейных систем: воздействию, задержанному на время , гдеm = const, соответствует реакция, задержанная на то же время

→;

- на основании свойства однородности линейных систем: умножению воздействия на весовой коэффициент – константу  –соответствует реакция, умноженная на тот же коэффициент

→;

- на основании свойства аддитивностилинейных систем: реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое из воздействий

→;

- слева имеем воздействие в виде суммы (1.5)

→,

а справа – реакцию

, (1.10)

где – импульсная характеристика, задержанная наmпериодов дискретизации.

Линейное уравнение (1.10) называют формулойсвертки, согласно которой реакциявычисляется как дискретная свертка воздействияи импульсной характеристики.

Выполнив замену переменных в (1.10), можно получить другой вариант записи формулы свертки

. (1.11)

Для нормированного времени формула свертки в двух вариантах записи (1.10) и (1.11) принимает вид соответственно

; (1.12)

. (1.13)

Выбор варианта формулы свертки определяется удобством применения в конкретном случае.

Линейная дискретная система, соотношение вход/выход которой описывается в виде формулы свертки, отвечает условиям физическойреализуемости: при нулевых начальных условиях (1.9)

реакция не может возникнуть раньше воздействия; значения реакции в каждый момент времени зависят только от текущего и предшествующих значений воздействия, но не зависят от его последующих значений.

Линейные уравнения (1.12)–(1.13) решаются методом прямой подстановкипринулевых начальных условиях, поэтомуформула сверткинепосредственно описываеталгоритмвычисления реакции по известному воздействию и импульсной характеристике ЛДС.

Пример 1.1.Вычислить реакцию ЛДС по формуле свертки.

Импульсная характеристика и воздействие заданы графически (рис. 1.7–1.8). Требуется определить восемь отсчетов реакции.

Рис. 1.7. Импульсная характеристика	Рис. 1.8. Воздействие

Решение приведено в табл. 1.1, а график вычисленной реакции – на рис. 1.9.

Таблица 1.1