Вычисление среднего арифметического упрощенным способом

Вес в граммах V	Число детей P	Частости 	Условные отклонения D	D
I	II	III	IV	IIIIV
3350	100	0,04	-5	-0,20
3400	150	0,06	-4	-0,24
3450	175	0,07	-3	-0,21
3500	250	0,10	-2	-0,20
3550	275	0,11	-1	-0,11
А=3600	300	0,12	0	0
3650	375	0,15	1	0,15
3700	275	0,11	2	0,22
3750	225	0,09	3	0,27
3800	200	0,08	4	0,32
3850	125	0,05	5	0,25
3900	50	0,02	6	0,12
Всего	2500	1,00	-	0,37

В итоге, несмотря на кажущуюся сложность расчетов, для нахождения среднего арифметического громоздких вычислений не понадобилось.

3. Другие степенные средние

Помимо среднего арифметического для характеристики центра (середины) распределения используются и другие параметры (средние величины). К ним, в частности, относятся среднее геометрическое, среднее гармоническое и среднее квадратическое. В математической статистике эти средние, как и среднее арифметическое, относят в группу степенных средних. Они имеют единое математическое выражение, отличающееся только коэффициентом (показателем степени) k, который является коэффициентом статистической размерности признака. Разница между этими средними тем больше, чем больше вариабельность признака в статистическом ряду. При небольшой вариабельности разница между этими средними практически незаметна.

К сожалению, степенные средние крайне редко применяются в практической медицинской статистике, что является источником большого числа ошибок, особенно в интерпретации данных лабораторных исследований. Исключение составляют ситуации, когда формулы и методики вычисления этих средних приводятся в описаниях приборов, итоги которых требуют вычисления степенных средних.

Таблица 77

Виды степенных средних величин

Алгебраическое выражение	Степенные средние
	Общая формула степенных
	Арифметическое k=1
	Гармоническое k=-1
	Квадратическое k=2
	Геометрическое k=0

В приведенных формулах: k- показатель степени (коэффициент статистической размерности); n -число наблюдений; V - варианты (если варианты представлены с частотами, то в формулы вводится P).

Среднее гармоническое - применяется, когда дело имеют с обратными величинами (коли-индексы), сложными абсолютными величинами (тонна-километр, килограмм на метр) и т.п. Использование в этих случаях «обычного» среднего арифметического приводит к ошибочным результатам. Например: В одном из районов к врачу психиатру в течение года из каждых 100 мужчин обратился 1 человек. Среди женщин 1 обратившаяся приходилась на 25 человек. Необходимо определить, на сколько жителей, в среднем, приходился один обратившийся. Для простоты вычислений будем считать, что общее число мужчин и женщин одинаково. Среднее арифметическое двух показателей (для мужчин и женщин) (25+100)/2=62,5 будет неверным. Правильно в этом случае определять среднее из обратных величин, через среднее гармоническое.

Таким образом, из каждых 40 человек 1 был посетителем психиатра. Этот результат мог быть получен и через статистические коэффициенты (интенсивные показатели). Но в данной ситуации вычисление среднего гармонического значительно проще.

Среднее квадратическое (не путать со среднеквадратическим отклонением!) - вычисляется, когда исходный ряд чисел представлен вариантами, отражающими значения площадей (площади ожогов, площади земельных участков и т.п.).

Среднее геометрическое - вычисляется в тех случаях, когда дело имеют с числовым рядом, отдельные значения в котором распределяются в геометрической прогрессии (резко отличаются друг от друга). Наиболее целесообразно вычисление этого показателя при определении среднего во временных рядах распределения. В целом, если при вычислении среднего арифметического подходят к рядам распределения с точки зрения разности между величинами, то при вычислении среднего геометрического подходят с точки зрения соотношения величин. Например: имеется два числа 4 и 16. Среднее арифметическое из них равняется 10, то есть 10 больше 4 на столько же, на сколько 10 меньше 16. Среднее геометрическое из этих чисел равно 8. Число 8 в два раза меньше 16 и в два раза больше 4.

Чтобы лучше понять сущность среднего геометрического, рассмотрим пример спора некого Ноццолини и Галилея (ХVII век). Лошадь, стоящая 100 крон, одним лицом оценивается в 10 крон, другим в 1000 крон. Какая из двух оценок менее ошибочна? Если рассматривать вопрос с арифметической точки зрения, на сколько ошибка велика, то получим в одном случае ошибку в 90 крон, а во втором - в 900 крон. Если оценивать, во сколько раз ошиблись покупатели, то получим одинаковый ответ для обоих - в 10 раз.*

* Пример взят из "Общей теории статистики". Ц.Б.Урланиса (1962 г)

Кроме упомянутых степенных средних величин, в практике медико-биологических исследований используются среднее логарифмическое, если ряды распределения представлены логарифмами чисел (децибелы, рН и т.п.), среднее кубическое, если ряды распределения - объемы (объемы плазмы, крови, объемы эритроцитарной массы и т.п.). Таким образом, при вычислении среднего необходимо принимать во внимание фактический состав исходных данных.