Критерий максимума ожидаемых полезностей

Это наиболее распространенный критерий, согласно которому оптимальное действие имеет максимальную ожидаемую полезность. Обозначим вектор полезностей, соответствующих -ому действию,. Ожидаемая полезность для-ого действия есть математическое ожидание полезностей, соответствующих этому действию, т.е.

Следует отметить, что если множество состояний природы бесконечно и имеет плотность , то ожидаемая полезность для-ого действия определяется как

Критерий оптимальности можно записать следующим образом. Действие является оптимальным, если для любоговыполняется неравенствоили.

Рассмотрим снова пример с вложением денег, предполагая, что с вероятностью 0.4 будет быстрый рост экономики, с вероятностью 0.2 будет средний рост, с вероятностью 0.3 будет неизменное состояние и с вероятностью 0.1 будет спад, т.е. ,,,. Тогда ожидаемые полезности альтернатив вычисляются как

Максимальное значение ожидаемой полезности - . Следовательно, оптимальное действие - покупка облигаций ().

Так как критерий максимума ожидаемых полезностей является одним из самых важных и распространенных, то рассмотрим использование этого критерия при определении смешанной стратегии или рандомизированного действия, т.е. наша задача определить оптимальное распределение вероятностей , определенное на множестве действий, такое, что ожидаемая полезность

была бы максимальной. Другими словами, стратегия является оптимальной, если для всехвыполняется неравенство. Таким образом, для нахождения оптимальной стратегиинеобходимо решить следующую задачу линейного программирования:

при ограничениях

Достаточно просто показать, что оптимальное решение задачи - чистая стратегия, т.е. . Действительно, множество распределенийобразует-мерный симплекс вероятностей, а оптимальное решение задачи линейного программирования определяется крайними точками множества значений переменных. Поэтому оптимальным распределениемявляется одно из следующих (крайние точки):

Таким образом, задача поиска оптимальной смешанной стратегии сводится к уже рассмотренной задаче максимизации ожидаемой полезности, т.е. к поиску оптимальной чистой стратегии. В то же время, если расширить задачу принятия решений наложив на распределение дополнительные ограничения, например,для некоторыхи, то, в общем, смешанная стратегия может отличаться от чистой.

Предположим, что в примере с вложением денег мы используем смешанную стратегию, но с условием, что вложения в акции будут осуществляться чаще, чем в облигации. Тогда появляется дополнительное ограничение на распределение в виде неравенства. В результате имеем следующую задачу оптимизации:

при ограничениях и.

Оптимальное решение - ,,. При этом следует отметить, что, что меньше, чем.

Критерий наиболее вероятного состояния природы

Согласно критерию наиболее вероятного состояния, выбирается наиболее вероятное состояние природы и далее задача решается в условиях полной определенности в предположении, что обязательно будет иметь место состояние с максимальной вероятностью. Оптимальным считается действие, соответствующее максимальному значению полезности для состояния с максимальной вероятностью. В примере с вложением денег максимальную вероятность имеет состояние быстрого роста экономики. Для этого состояния покупка акций имеет наибольшую полезность (15). Следовательно, оптимальное действие - покупка акций ().

Следует отметить, что критерий наиболее вероятного состояния природы используется достаточно редко.