- •I. Надежность машин и критерии работоспособности.
- •II. Нагрузки
- •Риc. II. 2
- •III. Расчет деталей на прочность.
- •Кручение.
- •IV. Основные физико-механические характеристики материала.
- •V. Сдвиг, кручение. Сдвиг.
- •Кручение.
- •Расчет детали на скручивание.
- •VI. Изгиб.
- •Деформации изогнутой балки.
- •VII. Сложное нагружение. Гипотезы прочности.
- •Расчет вала.
- •А) б)
- •VIII. Усталостная прочность.
- •Факторы, влияющие на усталостную прочность.
- •IX. Механические передачи вращательного движения.
- •Фрикционные передачи.
- •Ременные передачи.
- •Зубчатые передачи.
- •Эвольвентное зацепление.
- •Основные геометрические параметры эвольвентного зуба.
- •Контактные напряжения.
- •Косозубые передачи.
- •Схемы применения зубчатых передач.
- •А) б)
- •А) б)
- •Червячные передачи.
- •А) б)
- •А) б)
- •Шестеренные насосы.
- •X. Теория взаимозаменяемости.
- •Допуски и посадки.
- •Хi. Опоры валов.
- •Подшипники скольжения.
- •Подшипники качения.
- •XII. Надежность деталей машин. Устойчивость стержней.
- •XIII. Конструкционные материалы.
- •Черные металлы и сплавы.
- •Цветные металлы и сплавы.
- •Полимеры (пластмассы).
- •Композиционные материалы (композиты).
- •XIV. Аппараты с механическим перемешивающим устройством.
- •Корпус аппарата.
- •Сварные швы.
- •Мешалки.
- •Фланцевые соединения.
- •Уплотнительные устройства подвижных соединений.
VI. Изгиб.
Изгиб – деформация тела балки под действием сил в продольных плоскостях. Изгиб бывает поперечный (происходит под действием сил и моментов), чистый (действует только изгибающий момент) или плоский (ось балки прогибается в одной плоскости).
Рассмотрим случай чистого изгиба (Рис. VI.1) – балка изогнута под действием изгибающих моментов.
Рис. VI. 1
Исходя из характера деформации балки можно установить, что при чистом изгибе происходит поворот поперечных сечений без искажения, тогда как продольные слои балки деформируются (сжимаются и растягиваются) (Рис. VI. 2).
Рис. VI. 2
ρ– радиус кривизны слоя;
θ– угол поворота торца.
Как видно из рис. VI. 2 на выпуклой стороне слои балки растягиваются, что приводит к появлению положительного напряжения (+σ), а на вогнутой – сжимаются, с возникновением отрицательного напряжения (–σ). В средней зоне, т.е. на оси балки, нет напряжений и нет деформаций – это нейтральный слой (нейтральная ось), длина которого не меняется.
С целью вывода формул для определения нормального напряжения и кривизны балки рассмотрим элементарный участок длиной l (Рис.VI. 3).
Рис. VI. 3
Исходная длина балки – ОО1,dθ– угол поворота торцевых перемещений, у – расстояние от нейтральной оси до некоторого слоя.
Если из точки Опровести линию, параллельную правому торцу, дугаbcбудет равнаОО1, а дугааb– абсолютному удлинению торцов изгиба, т.е.:
,
тогда относительная деформация равна:
или
,
тогда:
. (VI. 1)
Введем величину k, называемуюсобственной кривизнойи равную:
. (VI. 2)
Из аналитической геометрии следует:
. (VI. 3)
Степень в знаменателе формулы (VI. 3) существенно не влияет на равенство в связи с тем, что деформации жесткой балки малы, т.е. ими можно пренебречь, тогда:
.
Применяя закон Гука:
и формулы (VI. 1) и (VI. 2), получим формулу для определения нормального напряжения в любом слое балки (Рис.VI. 4):
.
Рис. VI. 4
Напряжение σи его плечо у образует момент, тогда для элементарной площадки можно вывести формулу внутреннего изгибающего моментаdMx:
,
полный внутренний изгибающий момент Mxравен:
или
,
где -осевой момент инерции сеченияIx,
тогда:
,
следовательно:
. (VI. 4)
Формула (VI. 4) позволяет вести расчет на прочность сечения изогнутой балки. Но на практике обычно вместо осевого момента инерции сеченияIxиспользуют осевой момент сопротивления сеченияWx, равный:
.
Физический смысл Ixсводится к тому, что эта величина – геометрическая характеристика сечения, описывающая закономерность распределения элементарных площадок по всему сечению, а так же показывающая способность сечения сопротивляться изгибу. Таким образом, условием статической прочности балки при изгибе является выражение:
.
В зависимости от расстояния между элементарной площадкой сечения и осью балки изменяется напряжение при изгибе (Рис. VI. 5): чем дальше элементарная площадка от оси, тем больше величина напряжения (формула (VI. 4)).
Рис. VI. 5
В связи с этим рациональным является использование именно балки прямоугольного сечения, называемые двутаврами, средний слой которой не сопротивляется изгибу (Рис.V. 6).
Рис. VI. 6