Теория игр

Теоерия игр — математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу — в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках.

Теория игр — это раздел прикладной математики, точнее — исследования операций. Чаще всего методы теории игр находят применение в экономике, чуть реже в других общественных науках — социологии, политологии, психологии, этике и других. Начиная с 1970-х годов её взяли на вооружение биологи для исследования поведения животных и теории эволюции. Очень важное значение она имеет для искусственного интеллекта и кибернетики, особенно с проявлением интереса к интеллектуальным агентам.

Теория игр, как один из подходов в прикладной математике, применяется для изучения поведения человека и животных в различных ситуациях. Первоначально теория игр начала развиваться в рамках экономической науки, позволив понять и объяснить поведение экономических агентов в различных ситуациях. Позднее область применения теории игр была расширена на другие социальные науки; в настоящее время теория игр используется для объяснения поведения людей в политологии, социологии и психологии. Теоретико-игровой анализ был впервые использован для описания поведения животных Рональдом Фишером в 30-х годах XX века (хотя даже Чарльз Дарвин использовал идеи теории игр без формального обоснования). В работе Рональда Фишера не появляется термин «теория игр». Тем не менее, работа по существу выполнена в русле теоретико-игрового анализа. Разработки, сделанные в экономике, были применены Джоном Майнардом Смитом в книге «Эволюция и теория игр».

Теория игр используется не только для предсказания и объяснения поведения; были предприняты попытки использовать теорию игр для разработки теорий этичного или эталонного поведения. Экономисты и философы применяли теорию игр для лучшего понимания хорошего (достойного) поведения. Вообще говоря, первые теоретико-игровые аргументы, объясняющие правильное поведения, высказывались ещё Платоном.

Марковский процесс принятия решений

Марковский процесс принятия решений (англ. Markov decision process (MDP))

— спецификация задачи последовательного принятия решений для полностью наблюдаемой среды с марковской моделью перехода и дополнительными вознаграждениями.

Назван в честь Андрея Маркова, служит математической основой для того, чтобы смоделировать принятие решения в ситуациях, где результаты частично случайны и частично под контролем лица, принимающего решения.

Сегодня эта спецификация используются во множестве областей, включая робототехнику, автоматизированное управление, экономику и производство.

Стохастические игры

Стохастическая игра в теории игр — повторяющаяся игра со случайными переходами состояний, разыгрываемая одним и более игроками.

Стохастические игры были изобретены Л.Шепли в начале 1950-х годов. Наиболее полным их описанием является сборник статей под редакцией А.Ноймана и С.Сорина. Более элементарная книга Дж. Филар и К.Вриз содержит общее изложение теории марковских процессов принятия решений и стохастических игр двух лиц. Ими был использован термин

конкурентные марковские процессы принятия решений (англ. Competitive MDPs) для обозначения стохастических игр одного и двух лиц.

Игра разыгрывается в течение ряда этапов. В начале каждого этапа игра находится в некотором состоянии. Игроки выбирают свои действия и получают выигрыши, зависящие от текущего состояния и действий. После этого система переходит случайным образом в другое состояние, распределение вероятности переходов зависит от предшествующего состояния и действий игроков. Эта процедура повторяется в течение конечного или бесконечного числа шагов. Общий выигрыш игроков часто определяется как дисконтированная сумма выигрышей на каждом этапе или нижний предел средних выигрышей за конечное число шагов.

При конечном числе игроков, конечных множествах действий и состояний игра с конечным числом повторений всегда имеет равновесие Нэша. Это справедливо также для игр с бесконечным числом повторений, если выигрыши участников представляют собой дисконтированную сумму.

Н. Вайель показал, что все стохастические игры двух лиц с конечными множествами состояний и действий имеют приближенные равновесия Нэша, если функции выигрыша представляют собой нижний предел средних значений выигрыша за конечное число шагов. Вопрос о существовании таких равновесий в играх с большим количеством участников остается открытым.

Кооперативные стохастические игры

Кооперативные стохастические игры — раздел теории игр, изучающий конфликтно- управляемые системы с недетерминированными переходами из состояния в состояние, в которых возможна кооперация игроков. Стохастические игры — динамические игры, в которых переход из одного состояния (одновременной игры) в другое происходит с некоторой вероятностью, зависящей от стратегий, выбранных игроками в данном состоянии. Под выигрышами игроков в стохастических играх принято понимать математическое ожидание их выигрышей. Впервые стохастические игры были рассмотрены Л. Шепли в 1953 году. Он изучал антагонистические стохастические игры двух лиц и доказал существование ситуации равновесия в стационарных стратегиях в таком классе игр.

Если допустить возможность кооперации между игроками, то возникает несколько задач, характерных для кооперативных игр в целом. Первая из них — определение характеристической функции и проверка её супераддитивности. Вторая задача — нахождение в некотором смысле оптимального дележа максимального суммарного выигрыша игроков. Третья задача — поддержание кооперации или проверка выбранного игроками кооперативного соглашения на динамическую устойчивость.

В теории кооперативных стохастических игр предполагается, что игроки договариваются перед началом игры о совместном выборе ситуации, при которой достигается максимум математического ожидания суммарного выигрыша игроков (кооперативное соглашение). После этого они могут выбрать один из классических кооперативных принципов оптимальности в качестве дележа полученного выигрыша. Стохастическая игра происходит в динамике, это означает, что в течение игры игроки оказываются в подыграх (стохастических играх, начинающихся с некоторого состояния), и их оставшиеся выигрыши могут не совпадают с кооперативным принципом оптимальности, который они выбрали совместно в начале игры. Это будет означать динамическую неустойчивость кооперативного соглашения. Можно провести регуляризацию выплат игрокам на каждом шаге игры, чтобы добиться динамической устойчивости кооперативного соглашения.

Стохастические игры

Стохастическая игра в теории игр — повторяющаяся игра со случайными переходами состояний, разыгрываемая одним и более игроками.

Стохастические игры были изобретены Л.Шепли в начале 1950-х годов. Наиболее полным их описанием является сборник статей под редакцией А.Ноймана и С.Сорина. Более элементарная книга Дж. Филар и К.Вриз содержит общее изложение теории марковских процессов принятия решений и стохастических игр двух лиц. Ими был использован термин

конкурентные марковские процессы принятия решений (англ. Competitive MDPs) для обозначения стохастических игр одного и двух лиц.

Игра разыгрывается в течение ряда этапов. В начале каждого этапа игра находится в некотором состоянии. Игроки выбирают свои действия и получают выигрыши, зависящие от текущего состояния и действий. После этого система переходит случайным образом в другое состояние, распределение вероятности переходов зависит от предшествующего состояния и действий игроков. Эта процедура повторяется в течение конечного или бесконечного числа шагов. Общий выигрыш игроков часто определяется как дисконтированная сумма выигрышей на каждом этапе или нижний предел средних выигрышей за конечное число шагов.

При конечном числе игроков, конечных множествах действий и состояний игра с конечным числом повторений всегда имеет равновесие Нэша. Это справедливо также для игр с бесконечным числом повторений, если выигрыши участников представляют собой дисконтированную сумму.

Н. Вайель показал, что все стохастические игры двух лиц с конечными множествами состояний и действий имеют приближенные равновесия Нэша, если функции выигрыша представляют собой нижний предел средних значений выигрыша за конечное число шагов. Вопрос о существовании таких равновесий в играх с большим количеством участников остается открытым.

Экстерналия

Экстерналия (внешний эффект) в экономике — воздействие рыночной трансакции на третьих лиц, не опосредованное рынком.

Этот термин был введён в 1920 году Артуром Пигу в книге «Теория благосостояния».

При наличии внешних эффектов рыночное равновесие перестаёт быть эффективным: появляется «мертвый груз» (eng. Deadweight Loss)), нарушается эффективность по Парето, то есть возникает фиаско рынка.

Положительные экстерналии

Классическим примером положительной экстерналии со стороны производителя является взаимодействие расположенных рядом пасеки и яблоневого сада: пчёлы способствуют повышению урожая яблок, а яблони — увеличению сбора мёда, при этом их хозяева не вступают между собой ни в какие рыночные отношения. Таким образом, предельные частные издержки, равные кстати предельным издержкам общества, снижаются, что, для достижения рыночной эффективности, вызывало бы снижение цены и увеличение выпуска продукта под воздействием положительного внешнего эффекта.

Эффектом положительной экстерналии со стороны потребителя является рост предельного частного выигрыша потребителя, также эквивалентного предельному выигрышу общества. При этом, оптимально было бы увеличить количество данного товара, но сделать его платным для потребителей. Такого рода экстерналия часто ассоциируется с «эффектом безбилетника», то есть когда потребитель не платит за пользование товаром или услугой при условии, что производитель инвестировал в их производство. Создателем положительного внешнего эффекта можно назвать, к примеру, жителя дома, установившего освещение в своем подъезде в личных интересах, что, при этом, принесло пользу соседям по дому.

Отрицательные экстерналии

Отрицательный внешний эффект со стороны производителя повышает величину предельных издержек общества. К примеру такой экстерналии относится загрязнение окружающей среды промышленными предприятиями, когда увеличение прибыли предприятия в результате наращивания производства оборачивается ущербом окружающей среде, от чего страдают некоторые фирмы и общество в целом. Отрицательная экстерналия со стороны потребителя снижает значение предельного частного выигрыша (также и предельного выигрыша общества). Аналогичный пример: пробки на дорогах. При этом, автомобилисты сами создают отрицательную экстерналию и платят за это своим временем.

Негативные внешние эффекты часто устраняются путем вмешательства государства в экономику. Государство может установить различные виды налогов, пошлины для «вредителей». При увеличении налогов фирмы сокращают предложение своего товара, при этом, повышая на него цену. В случае с пробками правительство может сделать данную трассу платной. Общественные потери от траты времени заменяются на издержки по налоговым выплатам за использование трассы, но при этом общественный выигрыш возрастет на величину выигрыша государства от налоговых сборов, к тому же дорога наверняка станет значительно более разгруженной.