Пособие по терверу

в) условные математические ожидания E(X j Y ) и E(Y j X); г) условную дисперсию D(X j Y );

д) линии регрессии X на Y и Y на X.

Ответы

12.1. 356 . 12.2. а) E(X j 5) = 13, E(X j 10) = 12; б) E(Y j 2) = 152 ,

д) g(y) = 0; h(x) = 3 6jxj.

Домашнее задание

12.8. Распределение случайного вектора (X; Y ) задано таблицей

Найдите условное математическое ожидание E(Y j X + Y = 5).

12.9. Распределение случайного вектора (X; Y ) задано таблицей

Найдите: а) E(X j Y ); б) E(Y j X); в) D(X j Y ); г) D(Y j X).

12.10. Случайная величина Y имеет следующее распределение:

121

Известно, что E(X j Y = 1) = 2, E(X j Y = 0) = 10,

E(X j Y = 4) = 2. Найдите E(X).

12.11. Случайный вектор (X; Y ) имеет равномерный закон распределения в области G, где G прямоугольник ABCD; A( 4; 2), B( 4; 3),

C(6; 3), D(6; 2). Найдите:

а) плотности распределения компонент вектора fX(x) и fY (y); б) условные плотности распределения fX(xjy) и fY (yjx);

в) условные математические ожидания E(X j Y ) и E(Y j X); г) условные дисперсии D(X j Y ) и D(Y j X);

д) линии регрессии X на Y и Y на X.

12.12. Случайный вектор (X; Y ) имеет плотность распределения

(

x+3y ; если 0 6 x 6 1; 0 6 y 6 1, f(x; y) = 2

0в остальных случаях.

Найдите:

а) плотности распределения компонент вектора fX(x) и fY (y); б) условные плотности распределения fXjY (xjy) и fY jX(yjx); в) условные математические ожидания E(X j Y ) и E(Y j X); г) линии регрессии X на Y и Y на X.

12.13. Случайный вектор (X; Y ) имеет равномерный закон распределения в области G, где G треугольник ABC; A(0; 0), B(4; 4), C(4; 0). Найдите:

а) плотности распределения компонент вектора fX(x) и fY (y); б) условные плотности распределения fX(xjy) и fY (yjx);

в) условные математические ожидания E(X j Y ) и E(Y j X); г) условные дисперсии D(X j Y ) и D(Y j X);

д) линии регрессии X на Y и Y на X.

Ответы

122

г) D(X j Y ) = 253 ; D(Y j X) = 2512; д) g(y) = 1; h(x) = 12.

fY (y) = 4 8 y , y 2 [0; 4], x 2 [y; 4]; б) fXjY (xjy) = 4 1 y , x 2 [y; 4], y 2 [0; 4];

Дополнительные задачи

12.14. Распределение случайного вектора (X; Y ) задано таблицей

Найдите:

а) E(X j Y ); б) E(Y j X); в) D(X j Y ); г) D(Y j X).

12.15. Случайный вектор (X; Y ) имеет плотность распределения

Найдите:

а) плотность распределения fX(x) компоненты вектора X; б) условную плотность распределения fXjY (xjy);

в) условное математическое ожидание E(X j Y ); г) условную дисперсию D(X j Y );

д) линию регрессии X на Y .

12.16. Случайный вектор (X; Y ) имеет равномерный закон распределения в области G, где G квадрат ABCD; A( 2; 0), B(0; 2), C(2; 0),

D(0; 2). Найдите:

а) плотность распределения fX(x) компоненты вектора X; б) условную плотность распределения fXjY (xjy);

в) условное математическое ожидание E(X j Y ); г) условную дисперсию D(X j Y ).

12.17. Случайный вектор (X; Y ) имеет следующее распределение:

123

Найдите D[E(X j Y )] и E[D(X j Y )].

Ответы

12.14. а) E(X j 10) 3;86, E(X j 15) 3;75, E(X j 20) 3;87;

124

13 Основные понятия математической статистики

13.1 Эмпирические характеристики

Статистическая совокупность множество единиц изучаемого яв-

^

ления. Обозначаются совокупности: , 1, и т. д.

Признак качественная особенность единицы совокупности. Обозначаются признаки: X, Y и т. д.

Статистическая совокупность является областью определения конкретной функции, связанной с признаком.

Число элементов совокупности называется ее объемом.

Пусть x1, : : :, xn значения признака X в совокупности объема n. Располагая значения признака в порядке возрастания, получают вариационный ряд признака: x(1) 6 x(2) 6 : : : 6 x(n):

Разность x(n) x(1) между наибольшим и наименьшим значениями признака называется размахом признака.

Вариационный ряд признака x(1), x(2), : : :, x(n) может содержать одинаковые значения. Удалив все повторяющиеся значения получают последовательность значений признака x1, : : :, xs, s 6 n, все члены которой различны.

Количество ni элементов ! 2 , для которых X(!) = xi называется

частотой значения xi.

Отношение ni=n называется относительной частотой xi.

Таблица частот значений

называется частотным распределением признака.

125

Таблица относительных частот

называется эмпирическим распределением признака.

Пример. Признак X совокупности объема 10 имеет следующие значения: 5; 2; 4; 4; 3; 5; 3; 3; 4; 3. Требуется построить вариационный ряд и частотное распределение признака.

B Располагая элементы в порядке возрастания, получим вариационный ряд: 2; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 5; 5.

Частотное распределение:

Эмпирическим средним или средним значением признака в совокупности называется среднее арифметическое всех его значений в этой совокупности

x = x1n1 + x2n2 + : : : + xsns : n

Эмпирической дисперсией или дисперсией признака в совокупности называется среднее арифметическое квадратов отклонений его значений от эмпирического среднего

D(X) = (x1 x)2 n1 + (x2 x)2 n2 + : : : + (xs x)2 ns : n

p

Корень = D(X) называется стандартным отклонением признака X в совокупности .

Эмпирический начальный момент k-го порядка:

xkn1 + xkn2 + : : : + xkns

k(X) = 1 2 s : n

Эмпирический центральный момент k-го порядка:

k(X) = (x1 x)k n1 + (x2 x)k n2 + : : : + (xs x)k ns : n

126

Для эмпирической дисперсии справедлива формула:

D(X) = x2 (x)2 :

Пример. Имеется следующее частотное распределение признака X:

Требуется найти эмпирическое среднее.

B В соответствии с определением,

x = 401 (8 1 + 16 3 + 6 7 + 10 12) = 21840 = 5;45: C

Пример. Имеется следующее частотное распределение признака X:

Требуется найти эмпирическую дисперсию.

B Сначала находим значения x и x2.

x = 201 (6 1 + 4 5 + 7 6 + 3 8) = 9220 = 4;6;

x2 = 201 (6 12 + 4 52 + 7 62 + 3 82) = 55020 = 27;5:

Эмпирическую дисперсию находим по формуле D = x2 (x)2.

D = 27;5 4;62 = 27;5 21;16 = 6;34: C

Эмпирическая асимметрия

As = 3(X) :

[D(X)]3=2

Эмпирический эксцесс

As = 4(X) 3:

[D(X)]2

127

Середина вариационного ряда называется эмпирической медианой. Вычисляется по формуле:

Пусть x произвольное действительное число. Обозначим через nx накопленную частоту, т.е. число элементов вариационного ряда, меньших чем x.

Эмпирическая функция распределения F (x) вычисляется по следующей формуле:

F (x) = nnx :

Пример. Признак X совокупности объема 10 имеет следующие значения: 8; 5; 12; 5; 0; 5; 4; 11; 5; 5. Требуется построить эмпирическую функцию распределения.

B Вариационный ряд: 12; 5; 5; 5; 4; 0; 5; 5; 8; 11. Вычисленные значения частот, накопленных частот и эмпирической функции распределения расположим в последовательных столбцах таблицы:

График эмпирической функции распределения имеет ступенчатый вид. Функция принимает одно и то же значение во всем интервале между

128

последовательными значениями вариационного ряда:

>

>

>

>

>

:

Пусть имеются два признака X и Y на совокупности = f!1; : : : ; !ng. И пусть имеется r различных значений признака X и s различных значений признака Y .

Таблицей сопряженности или совместным частотным распределением признаков X и Y называется следующая таблица

где nij частота пары (xi; yj), т.е. число элементов ! 2 , для которых

X(!) = xi, а Y (!) = yj.

Эмпирическая ковариация определяется формулой

=1 j=1

Эмпирический коэффициент корреляции признаков вычисляется по формуле

129

Рассмотрим интервал (x(1); x(n), внутри которого расположены все возможные значения признака X. Пусть (a1; b1), . . . , (as; bs) разбиение этого интервала на попарно непересекающиеся интервалы меньшей длины.

Интервалы (ai; bi) называются интервалами группировки.

Число тех элементов ! 2 , для которых X(!) 2 (ai; bi) называется

частотой интервала (ai; bi) и обозначается ni. Таблица

называется таблицей интервальных частот или интервальным статистическим распределением.

Гистограммой частот называется геометрическая фигура, составленная из прямоугольников, основаниями которых служат отрезки [ai; bi]

на оси абсцисс, а высота каждого прямоугольника равна частоте соответствующего интервала.

Гистограммой плотности частот называется геометрическая фигура, составленная из прямоугольников, основаниями которых служат отрезки [ai; bi] на оси абсцисс, и площадь каждого прямоугольника равна частоте соответствующего интервала.

Обозначим через xi середину i-го интервала группировки: xi = (ai + bi) =2.

Используя в качестве значений признака X числа xi получают эмпирические интервальные характеристики:

интервальное среднее

s

x = n1 Xxi ni ;

i=1

интервальная дисперсия

s

D (X) = n1 X(xi x ) ni ;

i=1

интервальное стандартное отклонение

(X) = pD (X):

130