Пособие по терверу
.pdfB Находим плотности распределения компонент вектора.
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
fX(x) = |
Z |
f(x; y) dy = |
Z |
cos x cos y dy = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
0 6 x 6 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
= cos x |
sin y 0 |
= cos x; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
fY (y) = |
|
f(x; y) dx = |
|
|
cos x cos y dx = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
0 6 y 6 2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
= cos y |
sin x 0 |
= cos y; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим E(X; Y ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
=2 =2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
E(XY ) = Z |
Z |
xyf(x; y) dxdy = Z |
Z |
xy cos x cos y dxdy = |
||||||||||||||||||||
|
|
1 1 |
|
|
|
|
0 |
0 |
=2x d sin x12 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
= |
=2x cos x dx |
|
=2y cos y dy = |
0 |
= |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Z |
|
|
|
Z |
|
|
|
|
B |
Z |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
0x sin x |
2 |
=2 |
|
|
2 |
|
|
|
@ |
|
2 |
2 |
A |
|
|
|
1 |
|
2 |
: |
|||
|
sin x dx1 |
= |
|
+ cos x |
= |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
! |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
B |
|
|
0 |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
@ |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Произведение плотностей имеет вид: fX(x) fY (y) = cos x cos y, когда точка (x; y) принадлежит квадрату 0 6 x 6 =2; 0 6 y 6 =2. Вне квадрата произведение плотностей равно 0. Таким образом, справедливо равенство fX(x) fY (y) = f(x; y), следовательно, случайные величины
X и Y независимы. C
10.4 Системы n случайных величин
Пусть имеется набор случайных величин X1, X2, : : :, Xn.
Ковариационной матрицей C = (cij) и корреляционной матрицей R = ( ij) называются матрицы порядка n, составленные из всех
101
парных ковариаций cij = Cov(Xi; Xj) и всех коэффициентов корреляции
ij = (Xi; Xj), i; j = 1; : : : ; n.
Свойства ковариационной и корреляционной матриц:
1.Ковариационная и корреляционная матрицы являются симметричными матрицами.
2.Ковариационная и корреляционная матрицы неотрицательно определены.
3.Определители этих матриц неотрицательны.
4.Определитель корреляционной матрицы не превосходит единицу: det R 6 1.
Пример. Дисперсии независимых случайных величин U, V равны 1. Для случайных величин X = U +V , Y = 7U +V , Z = 7U V требуется найти: а) ковариационную матрицу C; б) корреляционную матрицу R.
B Находим ковариации.
c11 = Cov(X; X) = D(X) = D(U + V ) = D(U) + D(V ) = 2; c22 = Cov(Y; Y ) = D(Y ) = D(7U + V ) = 49 1 + 1 = 50; c33 = Cov(Z; Z) = D(Z) = D(7U V ) = 49 1 + 1 = 50;
c12 = c21 = Cov(X; Y ) = Cov(U + V;7U + V ) = 7 Cov(U; U) +
+ Cov(U; V ) + 7 Cov(V; U) + Cov(V; V ) = 7D(U) + 0 + 0 + D(V ) = 8;
c13 = c31 = Cov(X; Z) = Cov(U + V;7U V ) =
= 7 Cov(U; U) Cov(V; V ) = 6;
c23 = c32 = Cov(Y; Z) = Cov(7U + V;7U V ) =
= 49 Cov(U; U) Cov(V; V ) = 49 1 = 48:
Ковариационная матрица:
01
|
B |
2 |
8 |
6 |
C |
|
C = |
8 |
50 |
48 |
: |
||
|
6 |
48 |
50 |
|
||
|
@ |
|
|
|
A |
|
Находим значения коэффициентов корреляции.
11 = xx = 1; 22 = yy = 1; |
33 = zz = 1: |
||||||||
|
Cov(X; Y ) |
|
|
|
8 |
|
|
||
12 = 21 = xy = |
|
|
= |
p |
|
p |
|
= 0;8: |
|
(X) (Y ) |
|||||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
50 |
102
|
|
Cov(X; Z) |
6 |
|
|
|
|
|||||||||
13 = 31 = xz = |
|
|
|
= |
p |
|
|
p |
|
|
= 0;6: |
|||||
(X) (Z) |
||||||||||||||||
|
2 |
50 |
||||||||||||||
|
Cov(Y; Z) |
48 |
|
|
|
|
||||||||||
23 = 32 = yz = |
|
= |
p |
|
p |
|
= 0;96: |
|||||||||
(Y ) (Z) |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
50 |
|
50 |
|
Корреляционная матрица:
01
|
B |
1 |
0;8 |
0;6 |
C |
|
|
|
R = |
0;8 |
1 |
0 |
;96 |
: |
C |
||
|
0;6 |
0;96 |
1 |
|
||||
|
@ |
|
|
|
|
A |
|
|
10.5 Задания
Задачи для практических занятий
10.1. Закон распределения случайного вектора (X; Y ) задан таблицей
|
XnY |
0 |
1 |
2 |
. |
|
0 |
1=8 |
1=4 |
1=8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1=8 |
3=8 |
|
|
|
|
|
|
|
Найдите а) E(X + Y ); б) D(X + Y ).
10.2. Случайный вектор (X; Y ) задан законом распределения
|
XnY |
0 |
1 |
|
1 |
0;15 |
0;25 |
|
0 |
0;05 |
0;2 |
|
|
|
|
|
2 |
0;1 |
0;25 |
|
|
|
|
Найдите условный закон распределения случайной величины X
при Y = 0.
10.3. Дискретные случайные величины X и Y и их произведение
Z = XY имеют следующие распределения:
|
X |
0 |
2 |
; |
Y |
0 |
5 |
; |
Z |
0 |
10 |
. |
|
P |
0;5 |
0;5 |
P |
0;6 |
0;4 |
P |
0;8 |
0;2 |
|||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Являются ли случайные величины X и Y независимыми?
10.4. Случайный вектор (X; Y ) распределен в соответствии с таблицей
|
XnY |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0;25 |
0 |
|
0 |
0;25 |
0 |
0;25 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0;25 |
0 |
|
|
|
|
|
103
Докажите, что случайные величины X и Y некоррелированные, но зависимые.
10.5. Дана плотность распределения случайного вектора Z = (X; Y ):
f(x; y) = |
20 |
; x; y 2 ( 1; 1): |
2(16 + x2)(25 + y2) |
Найдите функцию распределения вектора Z.
10.6. Дана функция распределения случайного вектора Z = (X; Y ) :
(1 |
|
e |
|
4x)(1 |
e |
|
2y); |
если x > 0; y > 0, |
F (x; y) = (0; |
|
|
|
|
|
|
|
в остальных случаях. |
Найдите плотность распределения вектора Z.
10.7. Случайный вектор (X; Y ) имеет плотность распределения
21(x + y)e (x+y); |
если x > 0; y > 0, |
f(x; y) = (0; |
в остальных случаях. |
Являются ли случайные величины X и Y зависимыми?
10.8. Случайный вектор (X; Y ) имеет плотность распределения
83 |
|
x2 + y2 |
; если x 6 1; |
y 6 10, |
|
|
|
|
|
f(x; y) = (0; |
|
в остальныхj j |
случаях.j j |
Найдите xy.
10.9. Распределение вероятностей случайного вектора (X1; X2) задано таблицей
|
X1nX2 |
1 |
0 |
1 |
. |
|
0 |
0;2 |
0;15 |
0;15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0;1 |
0;15 |
0;25 |
|
|
|
|
|
|
|
Найдите ковариационную и корреляционную матрицы случайных величин X1 и X2.
Ответы
10.1. а) |
15 |
; б) |
71 |
|
1;11 |
XjY =0 |
1 |
0 |
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
8 |
64 |
. 10.2. |
P |
1=2 |
|
1=6 |
|
1=3 |
||||
10.3. Являются. 10.5. F (x; y) = |
1 arctg x4 + 21 |
|
1 arctg y5 + 21 . |
104
10.6. f(x; y) = 8e 4x 2y, x; y > 0. 10.7. Являются. 10.8. 0.
00;1 0;69 !; R = |
0;24 1 |
!. |
;25 0;1 |
1 0;24 |
|
Домашнее задание
10.10. Закон распределения случайного вектора (X; Y ) задан таблицей
|
XnY |
1 |
1 |
. |
|
0 |
0;1 |
0;3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0;2 |
0;4 |
|
|
|
|
|
|
1.Найдите вероятность события fX 6 Y g.
2.Установите, зависимы ли случайные величины X и Y .
10.11. Случайный вектор (X; Y ) распределен в соответствии с таблицей
|
XnY |
1 |
3 |
5 |
. |
|
2 |
0;1 |
0;3 |
0;1 |
|
|
2 |
0;05 |
0;2 |
0;25 |
|
|
|
|
|
|
|
Требуется найти условный закон распределения случайной величины Y
при X = 2.
10.12. Закон распределения случайного вектора (X; Y ) задан табли-
цей
|
XnY |
0 |
1 |
. |
|
0 |
0;15 |
0;25 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0;4 |
0;2 |
|
|
|
|
|
|
Найдите коэффициент корреляции xy.
10.13. Случайный вектор (X; Y ) имеет плотность распределения
(
C; если (x; y) 2 G,
f(x; y) =
0; если (x; y) 2= G,
где G = f(x; y) : 1 6 x 6 2; 0 6 y 6 1g. Найдите
1)величину постоянной C;
2)плотность распределения случайных величин X и Y ;
3)P (X > 0);
4)выясните, являются ли случайные величины X и Y зависимыми.
105
10.14.Случайные величины X и Y независимы и равномерно распределены на отрезках: X на [ 1; 1], Y на [ 2; 2]. Найдите P X2 + Y 2 < 1 .
10.15.Плотность распределения случайного вектора (X; Y ) имеет вид:
x+y |
; если 0 6 x 6 2; 0 6 y 6 1, |
f(x; y) = (0;3 |
в остальных случаях. |
Найдите ковариацию Cov(X; Y ).
10.16. Распределение вероятностей случайного вектора (X1; X2) задано таблицей
|
X1nX2 |
0 |
1 |
2 |
. |
|
0 |
0;05 |
0;2 |
0;25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0;2 |
0;2 |
0;1 |
|
|
|
|
|
|
|
Найдите ковариационную и корреляционную матрицы случайных величин X1 и X2.
Ответы
|
|
10.10. 1) 0;7; 2) зависимы. 10.11. |
|
Y |
jX=2 |
1 |
|
3 |
|
5 |
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
0;1 |
|
0;4 |
|
0;5 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0;21 |
C = |
1 |
|
f (x) = |
31; если x 2 [ 1; 2]; |
|||||||||||
10.12. |
. 10.13. 1) |
|
|
3; 2) |
|
X |
|
( |
0; если x = [ |
|
1; 2]; |
|||||||||
|
|
|
|
1; если y 2 [0; 1]; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
f |
Y |
(y) = |
3) |
P (X > 0) = 2 |
; 4) являются. |
|
|
|||||||||||||
|
|
( |
0; |
если x = [0; 1]; |
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.14. |
|
0;393 |
1 |
. 10.16. |
C = |
0;25 |
|
0;15 |
|
|
||||||||||
|
0;15 |
|
|
|
||||||||||||||||
8 |
|
. 10.15. |
81 |
|
|
|
0;59 |
!; |
|
|
|
|||||||||
R = |
01;39 |
01;39 !. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дополнительные задачи
10.17. Закон распределения случайного вектора (X; Y ) задан таблицей:
|
XnY |
0 |
1 |
. |
|
1 |
0;2 |
0;4 |
|
|
1 |
0;3 |
0;1 |
|
|
|
|
|
|
106
Найдите коэффициент корреляции xy.
10.18.В урне содержится 3 белых и 2 черных шара. Из нее случайным образом извлекается 2 шара без возвращения. Пусть случайная величина X число белых шаров в выборке, случайная величина Y число черных шаров в выборке. Найдите закон распределения случайного вектора (X; Y ) и коэффициент корреляции xy.
10.19.Случайный вектор (X; Y ) распределен в соответствии с табли-
цей
|
XnY |
1 |
2 |
|
1 |
0;5 |
0;1 |
|
|
|
|
|
2 |
0;1 |
0;3 |
|
|
|
|
Найдите D(X + Y ).
10.20. Дискретные независимые случайные величины X и Y имеют следующие законы распределения:
|
X |
1 |
1 |
; |
|
|
|
||
|
P |
0;5 |
0;5 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Y |
1 |
1 |
. |
|
|
|
||
|
P |
0;5 |
0;5 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Найдите закон распределения случайного вектора (U; V ), компоненты которого определяются формулами: U = minfX; Y g, V = maxfX; Y g. Зависимы ли случайные величины U и V ?
10.21. Случайная величина X равномерно распределена в промежутке [0; 2 ]; Y = cos X; Z = sin X. Найдите yz. Являются ли случайные величины Y и Z зависимыми?
Ответы
|
|
|
|
XnY |
|
0 |
|
1 |
2 |
|
10.17. 0;41. |
10.18. |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0;1 |
; xy = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
0 |
|
0;6 |
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0;3 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10.19. 0;76. 10.20. |
|
UnV |
1 |
1 |
; U и V зависимы. |
|||||
|
1 |
0;25 |
0;5 |
|||||||
|
|
1 |
0 |
0;5 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.21. yz = 0; Y и Z зависимы.
107
11Функции от случайных величин
11.1 Закон распределения монотонной функции от абсолютно непрерывной случайной величины
Пусть X абсолютно непрерывная случайная величина с плотностью распределения fX(x), а '(x) монотонная дифференцируемая функция. Тогда плотность распределения случайной величины Y = '(X)
определяется по формуле
fY (y) = fX |
' 1(y) |
|
' 1(y) |
|
0 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
где ' (y) функция, обратная '(x). |
|
|
|
|
|
Пример. Случайная величина X имеет плотность распределения
fX(x) = ( |
0; |
|
|
|
если x < 1, |
|
|
||||
|
1 |
|
; |
если x |
> |
1. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
2px |
3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Требуется найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) плотность распределения случайной величины Y = |
1 |
; |
|||||||||
X |
|||||||||||
б) P (0;1 < Y < 0;2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B Функция '(x) = 1=x при x > 0 является монотонно убывающей, поэтому справедлива формула для нахождения плотности распределе-
ния Y . Обратная функция ' 1(y) и ее производная имеют вид |
|
|||||||||||||||
' 1(y) = y; |
|
' 1(y) 0 = y12 ; |
f ' 1(y) = 2 |
13 |
|
|
|
|
: |
|||||||
|
|
= p2 |
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
y3 |
||
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
108
Когда x 2 [1; 1) y = 1=x 2
p
y3 fY (y) = 2
(0; 1]. Итак,
|
1 |
|
= |
1 |
; y 2 (0; 1]: |
||
y2 |
2py |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0;2 |
2py dy = 0;2 0;1 0;13: C |
|||||
P (0;1 < Y < 0;2) = Z |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
0;1 |
|
p |
p |
11.2 Закон распределения суммы двух случайных величин
Если случайный вектор (X; Y ) распределен с плотностью f(x; y), то случайная величина Z = X + Y имеет плотность fZ(z), которая определяется формулой
1 |
1 |
|
fZ(z) = Z |
f(x; z x) dx = Z |
f(z y; y) dy: |
1 |
1 |
|
Если случайные величины X и Y независимы, то f(x; y) = fX(x)fY (y). В этом случае формула принимает вид:
1 |
1 |
|
fZ(z) = Z |
fX(x)fY (z x) dx = Z |
fX(z y)fY (y) dy: |
1 |
1 |
|
Операция, которая каждой паре функций fX(x) и fY (y) ставит в соответствие функцию fZ(z) по приведенной выше формуле, называется
свертыванием, а функция fZ (z) называется сверткой и кратко записывается в виде: fZ = fX fY .
Пример. Даны две независимые случайные величины X и Y , распределенные равномерно на отрезке [0; 1]. Требуется найти плотность распределения их суммы Z = X + Y .
B Используем формулу свертки: fZ(z) = R 11 fX(x)fY (z x) dx. Плотности распределения случайных величин X и Y имеют вид:
fX(x) = fY (y) = 1; x; y 2 [0; 1]:
109
Так как X 2 [0; 1], Y 2 [0; 1], то случайная величина Z принимает значения только в отрезке [0; 2], причем должны выполняться условия:
0 6 x 6 1 и 0 6 z x 6 1, откуда z 1 6 x 6 z. Следовательно, если
z2 [0; 1], то x 2 [0; z], если z 2 [1; 2], то x 2 [z 1; 1]. Итак, если z 2 [0; 1],
z z
Z Z
fZ(z) = fX(x)fY (z x) dx = (1 1) dx = z:
0 0
Если z 2 [1; 2],
1 |
1 |
fZ(z) = Z |
fX(x)fY (z x) dx = Z (1 1) dx = 2 z: |
z 1 |
z 1 |
Искомая плотность:
8
>0;
>
>
>
>
<z;
fZ(z) =
>2 z;
>
>
>
>
:0;
если z < 0,
если 0 6 z 6 1,
если 1 6 z 6 2,
если z > 2: |
C |
11.3 Задания
Задачи для практических занятий
11.1. Случайный вектор (X; Y ) имеет следующее распределение:
|
|
|
XnY |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
0 |
0;3 |
|
0;2 |
. |
|
|
|
1 |
0;1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0;3 |
|
0;1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Найдите E 2XY . |
|
|
|
|
|||
11.2. |
Плотность распределения случайного вектора (X; Y ) имеет сле- |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
дующий вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23x + 21y; |
если |
0 6 x 6 1; 0 6 y 6 1, |
|||
|
f(x; y) = (0; |
в остальных случаях. |
110