- •«Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации» Кировский филиал
- •Киров 2012г. (2013г.) Содержание
- •Исходные данные Задача 1. Эконометрическое моделирование стоимости квартир в Московской области
- •Задача 2. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда
- •Решение Задача 1.1. Матрица парных коэффициентов корреляции
- •Задача 1.2. Поле корреляции результативного признака
- •Задача 1.3. Параметры линейной парной регрессии
- •Задача 1.4. Оценка качества моделей
- •Задача 1.5. Прогнозирование среднего значения
- •Задача 1.6. Пошаговая множественная регрессия
- •Задача 1.7. Оценка качества многофакторной модели
- •Задача 2.1. Проверка наличия аномальных наблюдений
- •Задача 2.2. Построение линейной модели
- •Задача 2.3. Оценка адекватности модели
- •Задача 2.4. Оценка точности модели
- •Задача 2.5. Осуществление прогноза
- •Задача 2.6. Графическое представление результатов моделирования и прогнозирования
- •Список литературы
Задача 1.5. Прогнозирование среднего значения
Для выбранной модели осуществите прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0.1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения. Представьте графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза прогнозирования.
Согласно условию задачи прогнозное значение фактора Х4 составляет 80% от его максимального значения. Максимальное значение Х4=91 найдем с помощью функции МАКС в Excel. Тогда прогнозное значение Х4*=72.8. Рассчитаем по уравнению модели (1): прогнозное значениеY:
Таким образом, если жилая площадь квартиры составит 80% от ее максимального значения и составит 72.8 кв. м, то ожидаемая цена квартиры будет составлять около 177,3878 тыс. долл.
Зададим доверительную вероятность p=1–α=1–0.1=0.9 и построим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y.
Предварительно подготовим:
стандартная ошибка (таблица «Регрессионная статистика» итогов применения инструмента «Регрессия» пакета «Анализ данных»);
по столбцу данных Х4 найдем среднее значение (функция СРЗНАЧ) и определим(функция КВАДРОТКЛ);
tα – коэффициент Стьюдента для уровня значимости α=10% и числа степеней свободы k=38. tα=1.686 (функция СТЬЮДРАСПОБР).
Тогда, предельная ошибка прогноза:
Следовательно, доверительный интервал имеет вид:
, т.е.
Таким образом, с надежностью 90% можно утверждать, что если жилая площадь квартиры составит 80% от ее максимального значения и составит 72,8 кв. м, то ожидаемая средняя цена квартиры будет от 127.8758 тыс. долл. до 226.8998 тыс. долл.
Выполненный прогноз стоимости квартиры оказался надежным (p=1–α=1–0.1=0.9), но не точным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала отличаются в 1,77 раза:
DY = 226.8998 / 127.8758 = 1.77.
Для построения графика используем «Мастер диаграмм» – покажем фактические исходные данные (поле корреляции). Затем с помощью опции «Добавить линию тренда», построим линию модели и покажем на графике результаты прогнозирования.
Задача 1.6. Пошаговая множественная регрессия
Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), постройте модель формирования цены квартиры за счет значимых факторов. Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.
Методом включения построим двухфакторные модели, сохраняя в них наиболее информативный фактор – жилую площадь квартиры (Х4).
В качестве «входного интервала Х» укажем значения факторов Х4 и Х1, с помощью инструмента «Регрессия» получим:
Регрессионная статистика | |
Множественный R |
0,875979141 |
R-квадрат |
0,767339455 |
Нормированный R-квадрат |
0,754763209 |
Стандартная ошибка |
28,37139894 |
Наблюдения |
40 |
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
|
|
| |
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
|
|
Регрессия |
2 |
98226,3515 |
49113,17573 |
61,01499 |
1,92E-12 |
|
|
|
Остаток |
37 |
29782,6423 |
804,9362779 |
|
|
|
|
|
Итого |
39 |
128008,994 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Нижние 95,0% |
Верхние 95,0% |
Y-пересечение |
-6,436101071 |
11,5164888 |
-0,55885966 |
0,579624 |
-29,7707 |
16,89852 |
-29,7707 |
16,89852 |
X4 |
2,48928005 |
0,22535976 |
11,04580516 |
2,85E-13 |
2,032658 |
2,945902 |
2,032658 |
2,945902 |
X1 |
6,692936402 |
9,04586863 |
0,739888746 |
0,464037 |
-11,6357 |
25,02161 |
-11,6357 |
25,02161 |
Таким образом, модель (4) зависимости цены квартиры Y от жилой площади квартиры Х4 и города области Х1 построена, ее уравнение имеет вид:
Используем в качестве «входного интервала Х» значения факторов Х4 и Х2, с помощью «Регрессии» найдем:
Регрессионная статистика | |
Множественный R |
0,874162592 |
R-квадрат |
0,764160238 |
Нормированный R-квадрат |
0,751412142 |
Стандартная ошибка |
28,56458338 |
Наблюдения |
40 |
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
|
|
| ||||||||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
|
| |||||||
Регрессия |
2 |
97819,38 |
48909,69 |
59,94309 |
2,47E-12 |
|
|
| |||||||
Остаток |
37 |
30189,61 |
815,9354 |
|
|
|
|
| |||||||
Итого |
39 |
128009 |
|
|
|
|
|
| |||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Нижние 95,0% |
Верхние 95,0% | |||||||
Y-пересечение |
-2,167574535 |
11,07267 |
-0,19576 |
0,84587 |
-24,6029 |
20,26778 |
-24,6029 |
20,26778 | |||||||
X4 |
2,556497296 |
0,456314 |
5,602491 |
2,17E-06 |
1,631917 |
3,481078 |
1,631917 |
3,481078 | |||||||
X2 |
-1,570328565 |
7,72891 |
-0,20318 |
0,840111 |
-17,2306 |
14,08993 |
-17,2306 |
14,08993 |
Таким образом, модель (5) зависимости цены квартиры Y от жилой площади квартиры Х4 и от числа комнат в квартире Х2 построена, ее уравнение имеет вид:
Построим множественную модель регрессии, учитывая все факторы (Х4, Х1, и Х2):
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
Регрессионная статистика | |
Множественный R |
0,876217908 |
R-квадрат |
0,767757822 |
Нормированный R-квадрат |
0,748404307 |
Стандартная ошибка |
28,73687504 |
Наблюдения |
40 |
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
|
|
| |
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
|
|
Регрессия |
3 |
98279,90622 |
32759,9687 |
39,6702 |
1,67E-11 |
|
|
|
Остаток |
36 |
29729,08753 |
825,807987 |
|
|
|
|
|
Итого |
39 |
128008,9938 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Нижние 95,0% |
Верхние 95,0% |
Y-пересечение |
-5,643572321 |
12,07285417 |
-0,46745966 |
0,642988 |
-30,1285 |
18,84131 |
-30,1285 |
18,84131 |
X4 |
2,591405557 |
0,461440597 |
5,61590284 |
2,27E-06 |
1,655561 |
3,52725 |
1,655561 |
3,52725 |
X1 |
6,85963077 |
9,185748512 |
0,74676884 |
0,460053 |
-11,7699 |
25,48919 |
-11,7699 |
25,48919 |
X2 |
-1,985156991 |
7,795346067 |
-0,25465925 |
0,800435 |
-17,7949 |
13,82454 |
-17,7949 |
13,82454 |
Таким образом, трехфакторная модель (6) зависимости цены квартиры Y от жилой площади Х4, города области Х1 и числа комнат в квартире Х2 построена, ее уравнение имеет вид:
Выберем лучшую из построенных моделей.
Для сравнения моделей с различным количеством учтенных в них факторов используем нормированные коэффициенты детерминации, которые содержатся в строке «нормированный R-квадрат» итогов инструмента «Регрессия». Чем больше величина нормированного коэффициента детерминации, тем лучше модель.
,
где - коэффициент детерминации, n – число наблюдений, k – число независимых переменных.
Модель (4): 0,767339455
Модель (5): 0,764160237
Модель (6): 0,767757821
Таким образом, лучшей является модель (6) зависимости цены квартиры Y от жилой площади Х4, города области Х1 и числа комнат в квартире Х2:
Коэффициент регрессии β1=6.859, следовательно, при изменении города области (Х1), при одном и том же числе комнат в квартире (Х2) и одной и той же жилой площади, цена квартиры (Y) увеличится в среднем на 6,859 тыс. долл.
Коэффициент регрессии β2=-1.985, следовательно, при изменении числа комнат в квартире (Х2) при одной и той же жилой площади (Х4) и одном и том же городе области (Х1), цена квартиры (Y) уменьшится в среднем на 1.985 тыс. долл.
Коэффициент регрессии β3=2.591, следовательно, при увеличении жилой площади квартиры на 1 кв. м. (Х4) при одном и том же городе области (Х1) и одном и том же кол-ве комнат (Х2), цена квартиры (Y) увеличится в среднем на 2.591 тыс. долл.
Свободный коэффициент не имеет экономического смысла, но говорит о том, что сначала меняется результат Y, а потом факторы X1, X2, X4..