![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Математический анализ. Часть 1.
- •Раздел 1. Введение в анализ: множества, функции.
- •Операции над высказываниями.
- •Предикаты. Кванторы общности и существования. Определение предиката.
- •Квантор общности.
- •Квантор существования.
- •П.2. Элементы теорий множеств (интуитивная теория множеств). Числовые множества. Множество действительных чисел.
- •Подмножества.
- •Операции над множествами.
- •Свойства операций над множествами.
- •1. Законы коммутативности.
- •2. Законы ассоциативности.
- •Универсальные множества. Дополнение и его свойства.
- •Бинарные отношения.
- •Запишем это бинарное отношение как множество пар:
- •Сужение функции.
- •Виды функций.
- •Композиция функций (сложная функция, суперпозиция функций.
- •Тождественная (единичная) функция.
- •Обратные функции.
- •1. , Где- единичная функция на.
- •Обратные тригонометрические функции.
- •2. Функция .
- •3. Функция arctg.
Операции над множествами.
Определение.Объединением двух
множестви
называется множество, которое состоит
из элементов множеств
и
,
и не содержит никаких других элементов.
Обозначается :.
.
Диаграмма
Эйлера – Венна:
Определение.Пересечением множестви
называется множество, которое состоит
из элементов, принадлежащих множеству
и множеству
,
и не содержит других элементов.
Обозначается:
.
.
Диаграмма
Эйлера – Венна:
Определение.Симметрической
разностьюмножестви
,
обозначается
,
(или дизъюнктивной суммой, обозначается
), называется множество всех элементов,
принадлежащих или множеству
или множеству
,
но не обоим вместе.
Диаграмма
Эйлера – Венна:
Определение.Разностью двух множестви
называется множество, которое состоит
из тех элементов
,
которые не принадлежат множеству
,
и не содержит других элементов.
Обозначается:
.
Диаграмма
Эйлера – Венна:
.
Имеет место свойство:
.
(Доказать самостоятельно).
Пример 1.Для множестви
найти множества
.
Решение.
;
;
;
.
Свойства операций над множествами.
1. Законы коммутативности.
Для любых множеств
,
:
а)
б)
Доказательство:
b. Для того, чтобы доказать равенство двух множеств, нужно доказать, что каждое из этих множеств является подмножеством другого множества.
Пусть
.
Для того, чтобы доказать равенство двух множеств, нужно доказать, что каждое из этих множеств является подмножеством другого множества. Пусть
.
2. Законы ассоциативности.
Для любых множеств
,
:
Доказательство:
.
.
3. Законы дистрибутивности.
Для любых множеств
,
,
:
Доказательство:
.
.
4. Законы идемпотентности.
Доказательство:
.
5. Законы для разности.
Для любых множеств
,
,
:
,
,
.
Доказательство:
.
.
.
6. Законы де Моргана для разности.
Для любых множеств
,
,
:
,
.
Доказательство:
Универсальные множества. Дополнение и его свойства.
Определение. Если все рассматриваемые
множества являются подмножествами
некоторого множества,
то
- универсальное множество.
Пример. Множество действительных
чисел- универсальное числовое множество.
Определение.Пусть,
тогда дополнением множества
,
обозначается
или
,
называется множество, определяемое
формулой:
.
Свойства дополнения:
,
,
,
,
,
.
Свойства 1) и 2) – законы де Моргана для дополнения.
Доказательства:
.
.
.
.
Дано:
, доказать:
, т.е. нужно доказать, что каждый элемент из
лежит в
.
Возьмём
,
.
Таким образом,
.
.
Задача.
1) В классе 25 человек, каждый из которых владеет, по крайней мере, одним языком – английским или немецким. 17 человек владеют английским, 15 – немецким. Сколько человек владеет только английским языком? Только немецким?
Решение:
Пусть множество А – множество людей, знающих английский, В – множество людей, знающих немецкий.
Тогда
пусть х– число учеников, владеющих двумя языками.
Тогда
Найдем количество учеников, владеющих
только английским:
Найдем количество учеников, владеющих
только немецким:
Ответ: 10 учеников владеют только английским языком, а 8 учащихся – только немецким.
Алгебра множеств. Пусть-
это множество множеств, т.е.
.
На множестве
заданы
операции
.
Множество
с операциями на нём называется алгеброй
множеств.
-
алгебра множеств.
Прямое произведение двух множеств. Бинарные отношения.
- упорядоченная пара элементов, т.е.
- первый элемент,
- второй элемент.
Описание.
Определение.Прямое произведение
множестви
(обозначается:
) – это множество:
.
Прямое произведение множеств часто называют декартовым произведением множеств;
а упорядоченную пару
-
декартовыми координатами на плоскости.
Пример.
;
.
Вычислим декартово произведение этих
множеств.
.
Упорядоченную пару
иначе можно назвать кортежем длины 2.
Обобщением понятия упорядоченной пары
является понятие кортежа (упорядоченного
множества n-объектов).
Кортежn-объектов
записывается:.
Определение. Два кортежаи
равны тогда и только тогда, когда
.
Прямое произведение n-множеств
()
– это множество всех кортежей вида
,
то есть
Множество
степениn, где
равно прямому произведениюn-множеств.
.
Пример.
Тогда
.