- •Математический анализ. Часть 1.
- •Раздел 1. Введение в анализ: множества, функции.
- •Операции над высказываниями.
- •Предикаты. Кванторы общности и существования. Определение предиката.
- •Квантор общности.
- •Квантор существования.
- •П.2. Элементы теорий множеств (интуитивная теория множеств). Числовые множества. Множество действительных чисел.
- •Подмножества.
- •Операции над множествами.
- •Свойства операций над множествами.
- •1. Законы коммутативности.
- •2. Законы ассоциативности.
- •Универсальные множества. Дополнение и его свойства.
- •Бинарные отношения.
- •Запишем это бинарное отношение как множество пар:
- •Сужение функции.
- •Виды функций.
- •Композиция функций (сложная функция, суперпозиция функций.
- •Тождественная (единичная) функция.
- •Обратные функции.
- •1. , Где- единичная функция на.
- •Обратные тригонометрические функции.
- •2. Функция .
- •3. Функция arctg.
Предикаты. Кванторы общности и существования. Определение предиката.
Рассмотрим несколько предложений с переменной:
- «- простое натуральное число»; область допустимых значений этого предиката – множество натуральных чисел;
- «- чётное целое число»; область допустимых значений этого предиката – множество целых чисел;
- «- равносторонний»;
- «»
- «студентполучил оценку»
- «делится нацело на 3»
Определение. Если предложение с переменными при любой замене переменных допустимыми значениями превращается в высказывание, то такое предложение называется предикатом.
,,,- предикаты от одной переменной (одноместные предикаты). Предикаты от двух переменных:,- двухместные предикаты. Высказывания – нульместные предикаты.
Квантор общности.
Определение. Символназывается квантором общности.
читается: для любого, для каждого, для всех.
Пусть - одноместный предикат.
читается: для любых- истина.
Пример.- «Все натуральные числа простые» - Ложное высказывание.
- «Все целые числа чётные» - Ложное высказывание.
- «Все студенты получили оценку» - одноместный предикат. Навесили квантор на двуместный предикат, получили одноместный предикат. Аналогично-n-местный предикат, то- (n-1)-местный предикат.- (n-2)-местный предикат.
В русском языке квантор общности опускается.
Квантор существования.
Определение. Символназывается квантором существования.
читается: существует, есть, найдётся.
Выражение , где- одноместный предикат, читается: существует, для которогоистинно.
Пример.- «существуют простые натуральные числа». (и)
- «существуют целые чётные числа». (и).
- «существует студент, который получил оценку» - одноместный предикат.
Если на n-местный предикат навесить 1 квантор, то получим (n-1)-местный предикат, если навеситьnкванторов, то получим нульместный предикат, т.е. высказывание.
Если навешивать кванторы одного вида, то порядок навешивания кванторов безразличен. А если на предикат навешиваются разные кванторы, то порядок навешивания кванторов менять нельзя.
Построение отрицания высказываний, содержащих кванторы. Законы Де Моргана.
- закон Де Моргана.
При построении отрицания высказывания, содержащего квантор общности, этот квантор общности заменяется на квантор существования, а предикат заменяется на своё отрицание.
- закон Де Моргана.
При построении отрицания высказываний, содержащих квантор существования, нужно квантор существования заменить на квантор общности, а предикат - его отрицанием. Аналогично строится отрицание высказываний, содержащих несколько кванторов: квантор общности заменяется на квантор существования, квантор существования - на квантор общности, предикат заменяется своим отрицанием.
П.2. Элементы теорий множеств (интуитивная теория множеств). Числовые множества. Множество действительных чисел.
Описание множества: под словом множество понимается совокупность объектов, которая рассматривается как одно целое. Вместо слова «множество» иногда говорят «совокупность», «класс».
Определение. Объект, входящий в множество, называется его элементом.
Запись обозначает, чтоявляется элементом множества. Записьобозначает, чтоне является элементом множества. Про любой объект можно сказать, является он элементом множества или нет. Запишем это утверждение с помощью логических символов:
- истина.
Не существует объекта, который одновременно принадлежит множеству и не принадлежит, то есть,
- ложь.
Множество не может содержать одинаковых элементов, т.е. если из множества, содержащего элемент , удалить элемент, то получится множество, не содержащее элемент.
Определение.Два множестваиназываются равными, если они содержат одни те же элементы.
.