Предикаты. Кванторы общности и существования. Определение предиката.

Рассмотрим несколько предложений с переменной:

- «- простое натуральное число»; область допустимых значений этого предиката – множество натуральных чисел;

- «- чётное целое число»; область допустимых значений этого предиката – множество целых чисел;

- «- равносторонний»;

- «»

- «студентполучил оценку»

- «делится нацело на 3»

Определение. Если предложение с переменными при любой за­мене переменных допустимыми значениями превращается в высказы­вание, то такое предложение называется предикатом.

,,,- предикаты от одной переменной (одноместные пре­дикаты). Предикаты от двух переменных:,- двухместные предикаты. Высказывания – нульместные предикаты.

Квантор общности.

Определение. Символназывается квантором общности.

читается: для любого, для каждого, для всех.

Пусть - одноместный предикат.

читается: для любых- истина.

Пример.- «Все натуральные числа простые» - Лож­ное высказывание.

- «Все целые числа чётные» - Ложное высказывание.

- «Все студенты получили оценку» - одноместный преди­кат. Навесили квантор на двуместный предикат, получили одномест­ный предикат. Аналогично-n-местный предикат, то- (n-1)-местный предикат.- (n-2)-местный пре­дикат.

В русском языке квантор общности опускается.

Квантор существования.

Определение. Символназывается квантором существования.

читается: существует, есть, найдётся.

Выражение , где- одноместный предикат, чита­ется: существует, для которогоистинно.

Пример.- «существуют простые натуральные числа». (и)

- «существуют целые чётные числа». (и).

- «существует студент, который получил оценку» - од­номестный предикат.

Если на n-местный предикат навесить 1 квантор, то получим (n-1)-ме­стный предикат, если навеситьnкванторов, то получим нульместный предикат, т.е. высказывание.

Если навешивать кванторы одного вида, то порядок навешива­ния кванторов безразличен. А если на предикат навешиваются разные кванторы, то порядок навешивания кванторов менять нельзя.

Построение отрицания высказываний, содержащих кван­торы. Законы Де Моргана.

- закон Де Моргана.

При построении отрицания высказывания, содержащего квантор общности, этот квантор общности заменяется на квантор существования, а предикат заменяется на своё отрицание.

- закон Де Мор­гана.

При построении отрицания высказываний, содержащих квантор существования, нужно квантор существования заменить на квантор общности, а предикат - его отрицанием. Аналогично строится отри­цание высказываний, содержащих несколько кванторов: квантор общности заменяется на квантор существования, квантор существова­ния - на квантор общности, предикат заменяется своим отрицанием.

П.2. Элементы теорий множеств (интуитивная теория множеств). Числовые множества. Множество действительных чисел.

Описание множества: под словом множество понимается сово­купность объектов, которая рассматривается как одно целое. Вместо слова «множество» иногда говорят «совокупность», «класс».

Определение. Объект, входящий в множество, называется его элементом.

Запись обозначает, чтоявляется элементом множества. Записьобозначает, чтоне является элементом множества. Про любой объект можно сказать, является он элементом множества или нет. Запишем это утверждение с помощью логических символов:

- истина.

Не существует объекта, который одновременно принадлежит множеству и не принадлежит, то есть,

- ложь.

Множество не может содержать одинаковых элементов, т.е. если из множества, содержащего элемент , удалить элемент, то полу­чится множество, не содержащее элемент.

Определение.Два множестваиназываются равными, если они содержат одни те же элементы.

.