- •Всероссийский заочный финансово-экономический
- •Свойства оценок обычного метода наименьших квадратов
- •Обобщенный метод наименьших квадратов
- •Обобщенная модель регрессии
- •Оценивание параметров моделей с гетероскедастичностью возмущений
- •Пример 1
- •Оценивание параметров моделей с коррелированными возмущениями
- •Пример 2
- •Литература
Оценивание параметров моделей с гетероскедастичностью возмущений
Рассмотрим использование обобщенного метода наименьших квадратов для корректировки гетероскедастичности возмущений. Пусть строится линейная регрессионная модель (0). Будем считать, что модель гетероскедастична, т. е. дисперсии возмущений (i=1, 2, …, n) не равны между собой, а сами возмущения не коррелированны и их математические ожидания равны нулю. Это означает, что ковариационная матрица вектора возмущенийбудет диагональной:
|
. |
(0) |
Для оценки параметров такой модели используется взвешенный метод наименьших квадратов(Weighted Least Squares), являющийся частным случаем обобщенного МНК.
Сущность взвешенного метода наименьших квадратов состоит в том, что каждый квадрат остатка (i=1, 2, …, n) «взвешивается» с помощью коэффициента, где(i) — среднее квадратическое отклонениеi-го возмущения. Тем самым добиваются равномерного вклада остатков в остаточную сумму квадратов, что приводит, в конечном счете к получению несмещенных и наиболее эффективных оценок параметров модели.
Условие взвешенного метода наименьших квадратов имеет вид:
|
. |
(0) |
Вектор b*оценок параметров модели определяется по формуле (0).
На практике, однако, средние квадратические отклонения возмущений (i) почти никогда не бывают известны. Поэтому для применения взвешенного метода наименьших квадратов, необходимо сделать предположение о значениях(i). Весьма часто считают, что среднее квадратическое отклонение возмущений пропорционально значениям одного из факторов, предположительно делающих выборочную совокупность неоднородной.
Пусть имеются исходные данные для построения модели множественной регрессии (табл. 1).
Таблица |
1 |
Исходные данные для построения модели множественной регрессии |
Номер наблюдения (объекта) |
Значение результата Y |
Набор факторов и их значения | ||||||
X0 |
X1 |
X2 |
… |
Xj |
… |
Xp | ||
1 |
y1 |
1 |
x11 |
x12 |
… |
x1j |
… |
x1p |
2 |
y2 |
1 |
x21 |
x22 |
… |
x2j |
… |
x2p |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
i |
yi |
1 |
xi1 |
xi2 |
… |
xij |
… |
xip |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
… |
… |
n |
yn |
1 |
xn1 |
xn2 |
… |
xnj |
… |
xnp |
Представим модель (0) в развернутом виде:
|
(i=1, 2, …, n). |
(0) |
Если предположить, что среднее квадратическое отклонение возмущений (i) (i=1, 2, …, n) пропорционально значениямxijфактораXj(или, что одно и тоже — дисперсия возмущенийпропорциональна квадрату значений фактора Xj), то исходные данные преобразуются их делением на соответствующие значения xij(i=1, 2, …, n). Такое преобразование называетсямасштабированием исходных данныхпо факторуXj. (табл. 2).
Таблица |
2 |
Масштабирование исходных данныхпо фактору Xj |
Номер наблюдения (объекта) |
Значение результата Y |
Набор факторов и их значения | ||||||
X0 |
X1 |
X2 |
… |
Xj |
… |
Xp | ||
1 |
y1/x1j |
1/x1j |
x11/x1j |
x12/x1j |
… |
1 |
… |
x1p/x1j |
2 |
y2/x2j |
1/x2j |
x21/x2j |
x22/x2j |
… |
1 |
… |
x2p/x2j |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
i |
yi/xij |
1/xij |
xi1/xij |
xi2/xij |
… |
1 |
… |
xip/xij |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
n |
yn/xnj |
1/xnj |
xn1/xnj |
xn2/xnj |
… |
1 |
… |
xnp/xnj |
Таким же образом преобразуется и модель (0):
|
(i=1, 2, …, n), |
(0) |
или, что одно и тоже —
|
(i=1, 2, …, n), |
(0) |
Введем обозначения.
Пусть ,,,, …,,, тогда преобразованная модель окончательно будет иметь вид:
|
(i=1, 2, …, n). |
(0) |
Параметры преобразованной модели (0) оцениваются обычным методом наименьших квадратов. Если предположение о пропорциональности среднего квадратического отклонения возмущений значениям фактора Xjимеет основание, то «новое» возмущениеiбудет иметь постоянную и притом — наименьшую дисперсию, а коэффициенты уравнения регрессии окажутся несмещенными и эффективными оценками параметров модели (0). Вместе с тем следует иметь в виду, что новые преобразованные переменные получают другое экономическое содержание и их регрессия имеет иной смысл, чем регрессия по исходным данным. Поэтому численно оценки параметров моделей (0) и (0) в общем случае не совпадают.
Если строится линейная модель парной регрессии Y по X
|
(i=1, 2, …, n), |
(0) |
то она трансформируется в модель
|
(i=1, 2, …, n), |
(0) |
в которой свободный член и угловой коэффициент как бы поменялись местами.
На практике иногда имеет смысл попробовать использовать одновременно несколько факторов для масштабирования исходных данных. Если каждый раз получаются сходные результаты и тесты Голдфельда–Квандта по всем факторам не выявляют гетероскедастичность возмущений, то эту проблему можно считать решенной.
В ряде случаев дисперсия возмущений зависит не от включенных в модель факторов, а от тех, которые не включены в модель, но играют существенную роль в исследуемой зависимости. Иногда для устранения гетероскедастичности необходимо изменить спецификацию модели, например, линейную на логарифмическую и т.д.