Основные этапы применения факторного анализа в случае одного объясняющего фактора

В случае существования только одного фактора суть ФА состоит в объяснении корреляции между наблюдаемыми признаками с помощью корреляции этих признаков с фактором  В общем случае может быть несколько факторовКорреляцию между наблюдаемыми признаками и факторами обозначаютВеличиныназываютсяфакторными нагрузкамии они образуютматрицу факторных нагрузок

Как правило, основная цель ФА состоит в объяснении корреляционной матрицы признаков R ее матрицей факторных нагрузок . Матрицу находят численными методами, определяя собственные числа и векторы матрицы R при условии выполнения

Предположим, существует один объясняющий фактор. На первом этапе формируют матрицу наблюдений (исходных данных),

Вычисленная корреляционная матрица матрицы наблюдений X равна:

Целью факторного анализа является нахождение латентной переменной, так называемогофактора, который бы позволил воспроизвести наблюдаемую корреляционную матрицу с использованием соответствующей процедуры вычислений.Редуцированную(преобразованную) корреляционную матрицу можно воспроизвести с помощью векторафакторной нагрузки по уравнению

(1)

или =(2)

Вектор  представляет собойфакторную нагрузкуненаблюдаемого фактора. В результате умноженияполучим матрицу, принципиально отличающуюся отдиагональными элементами. Диагональные элементы матрицыназываютсяобщностями. Общностьi-того элемента будем обозначать через. Величинаназываетсяхарактерностью. Диагональные элементы исходной и редуцированной корреляционных матриц связаны соотношением

(3)

Таким образом, значения компонент вектора , называемых факторными нагрузками, воспроизводят все коэффициенты корреляции для всех переменных. Факторf непосредственно для измерения недоступен - он гипотетичен.Факторный анализпризван для установления таких гипотетичных факторов.

Из приведенного алгоритма ясно, что, прежде чем определить фактор, нужно построить редуцированную корреляционную матрицу по значениям общностей. Оценка общностей составляют первую проблему факторного анализа,проблему общности. Второй проблемой является определение фактора. Это так называемаяпроблема факторов.

Методика факторного анализа в случае нескольких объясняющих факторов

В общем случае для объяснения корреляционной матрицы потребуется не один, а несколько факторов. Каждый фактор характеризуется столбцом, каждая переменная - строкой матрицы . Фактор называетсягенеральным, если все его нагрузки значительно отличаются от нуля и он имеет нагрузки от всех переменных. Генеральный фактор имеет нагрузки от всех переменных и схематически такой фактор изображен на рис.1. столбцом.Фактор называетсяобщим, если хотя бы две его нагрузки значительно отличаются от нуля. Столбцы,   нарис. 1.представляют такие общие факторы. Они имеют нагрузки от более чем двух переменных. Если у фактора только одна нагрузка, значительно отличающаяся от нуля, то он называетсяхарактерным фактором(см. столбцынарис. 1.) Каждый такой фактор представляет только одну переменную. Решающее значение в факторном анализе имеют общие факторы. Если общие факторы установлены, то характерные факторы получаются автоматически. Число высоких нагрузок переменной на общие факторы называетсясложностью. Например, переменнаянарис.1.имеет сложность 2, а переменная- три.

Рис. 1. Схематическое изображение факторного отображения. Крестик означает высокую факторную нагрузку.

Итак, построим модель

,  (4)

где  - ненаблюдаемые факторыm <k,

- наблюдаемые переменные (исходные признаки),

- факторные нагрузки,

- случайная ошибка связанная только сс нулевым средним и дисперсией:

и- некорpелированы,

- некоррелированные случайные величины с нулевым средним и единичной дисперсией.

Тогда

( 5)

Здесь  -i-ая общность представляющая собой часть дисперсии, обусловленная факторами,- часть дисперсии, обусловленная ошибкой. В матричной записи факторная модель примет вид:

(6)

где - матрица нагрузок, - вектор факторов, - вектор ошибок.

Корреляции между переменными, выраженные факторами, можно вывести следующим образом:

, (7)

где - диагональная матрица порядка, содержащая дисперсии ошибокⁱ. Основное условие:- диагональная,- неотрицательно определенная матрица. Дополнительным условием единственности решения является диагональность матрицы.

Имеется множество методов решения факторного уравнения. Наиболее ранним методом факторного анализа является метод главных факторов, в котором методика анализа главных компонент используется применительно к редуцированной корреляционной матрицес общностями на главной диагонали. Для оценки общностей обычно пользуются коэффициентом множественной корреляции между соответствующей переменной и совокупностью остальных переменных.

Факторный анализ проводится исходя из характеристического уравнения, как и в анализе главных компонент:

(8)

Решая которое, получают собственные числа λ_iи матрицу нормированных (характеристических) векторовV, и затем находят матрицу факторного отображения:

Для получения оценок общностей и факторных нагрузок используется эмпирический итеративный алгоритм, который сходится к истинным оценкам параметров. Сущность алгоритма сводится к следующему: первоначальные оценки факторных нагрузок определяются с помощью метода главных факторов. На основании корреляционной матрицы R формально определяются оценки главных компонент и общих факторов:

(9)

где - соответствующее собственное значение матрицы R;

- исходные данные (вектор-столбцы);

- коэффициенты при общих факторах;

- главные компоненты (вектор-столбцы).

Оценками факторных нагрузок служат величины

(10)

Оценки общностей получаются как

(11)

На следующей итерации модифицируется матрица R - вместо элементов главной диагонали подставляются оценки общностей, полученные на предыдущей итерации; на основании модифицированной матрицы R с помощью вычислительной схемы компонентного анализа повторяется расчет главных компонент (которые не являются таковыми с точки зрения компонентного анализа), ищутся оценки главных факторов, факторных нагрузок, общностей, специфичностей. Факторный анализ можно считать законченным, когда на двух соседних итерациях оценки общностей меняются слабо.

Примечание.Преобразования матрицы R могут нарушать положительную определенность матрицы R⁺и, как следствие, некоторые собственные значения R⁺могут быть отрицательными.

Для лучшей интерпретации полученных общих факторов к ним применяется процедура вращения. Если факторный анализ ведется в терминах главных компонент, то значения факторов могут быть вычислены непосредственно. В случае вращения главных компонент соотношения, связывающие исходные переменные и значения факторов, несколько усложняются. Ниже в матричном виде приведено соотношение, оптимальное по скорости вычисления, а также независимое от метода вращения факторов:

( 12)

- повернутая матрица A,

A- матрица коэффициентов при общих факторах,

- диагональная матрицаm собственных членов,

- матрица исходных данных,

- матрицаm повернутых факторов.

При определении числа общих факторовруководствуются следующими критериями: число существенных факторов можно оценить из содержательных соображений, в качестве числа общих факторовmберется число собственных значений, больших либо равных единице (по умолчанию), выбирается число факторов, объясняющих определенную часть общей дисперсии или суммарной мощности

Литература по теме 6:

1. Окунь Я. Факторный анализ/ пер. с польск. – Москва: «Статистика», 1974. - 200 с.

2. Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы/ - Москва, «Финансы и статистика», 2000. - 352

i Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы/ - Москва, «Финансы и статистика», 2000. - 352 с.