4. Нахождение среднего для значений случайных независимых величин

Рассмотрим ситуацию, когда случайное явление – это числовое значение некоторой величины. Например, число, указанное на грани игрального кубика; сумма выигрыша в лотерею и так далее Пусть этих значений и они образуют дискретный ряд , , …, . Среди этих значений могут оказаться одинаковые. Пусть таких групп одинаковых значений имеется . Очевидно, что . Спрашивается, каково среднее значение величины ? (Например, сколько в среднем очков выпадет при одном броске кубика?)

Будем исходить из определения среднего значения:

. (3.11)

Однако эта же сумма может быть получена, если провести суммирование по группам одинаковых значений. Пусть в каждой группе одинаковых значений по . Тогда:

.

Так как – вероятность появления результата из группы, то получаем:

. (3.12)

Пример. Найти среднее количество очков, выпадающее при однократном броске игральной кости (кубика).

Так как все , а количество очковпринимает значения, по формуле (3.12) получаем:

.

Величина (3.12) – это взвешенное среднеедля выборки , , …, .

5. Понятие условной вероятности

Отметим, что события имогут бытьзависимыми– это наиболее общий случай. Зависимость случайных событий означает, что одно из них оказывает влияние на другое.

Например, Вы случйно встретили знакомого на вечеринке (событие ); однако Ваше появление на этой вечеринке также событие, строго говоря, случайное (событие). Таким образом, случайное событиеоказывается следствием случайного события.

Заметим, что вероятность любого случайного события зависит от каких-то условий, при которых возможно его наступление или ненаступление. Например, условием того, что вероятность выпадения всех цифр игральной кости одинакова и равна , является ее правильная геометрическая форма и однородность материала. Если условия изменятся (например, форма будет не куб, а параллелепипед), то изменится и вероятность.

Вероятность события при условии, что влияющее на него событиеимело место, называетсяусловной вероятностью.

Обозначать условную вероятность будем .

Вероятность событий, для которых условия не изменяются в различных сериях опытов, называется безусловной.

Случайные события инезависимы, если их условные вероятности равны безусловным, то есть

и. (3.13)

Перечислим некоторые свойства условной вероятности:

1. Если инесовместны, то и;

2. Для дополнительных событий ;

3. Если и несовместны, то , а также ;

4. Если с необходимостью влечет за собой , то есть , то ;

6. Общая формула для вероятности произведения событий

Теперь при нахождении вероятности произведения событий рассмотрим наиболее общий случай, когда событияимогут бытьзависимыми.

Пусть из равновероятных исходов опыта событие реализуетсяспособами. Из этихисходовисходов являются благоприятными для наступления события, связанного с событием. Тогда.

Пример. Имеется 3 урны, содержащие белые и черные шары. В первой урне 2 белых и 4 черных шара, во второй – 3 белых и 3 черных, в третьей – 4 белых и 2 черных. Из одной из урн (неизвестно, из какой) наугад вынут шар. Какова вероятность того, что вынут из первой урны при условии, что шар оказался белым?

Пусть событие – вытаскивание белого шара, а– то, что он вынут из первой урны. Из всех имеющихся шаров событиюблагоприятствуютшаров; из них лишьшара благоприятствуют событию. Таким образом, получаем:.

Вероятность совместного выполнения событий иравна

.

Итак, окончательно получаем:

. (3.14)

Выражение (3.14) является наиболее общим правилом умножения вероятностей. В частном случае независимости событий ииз формулы (3.14) при условии (3.13) получаем формулу (3.9).

Пример. На карточках отдельными буквами написано слово «ПАПАХА». Карточки переворачивают, перемешивают и случайным образом открывают 4 из них. Какова вероятность получить таким путем слово «ПАПА»?

Пусть событие – извлечение первой «П», событие– извлечение второй «А»,– третьей «П» и– четвертной «А». Тогда интересующее нас событие можно записать как. Его вероятность можно найти, применяя несколько раз формулу (3.14).

;

;

;

;

;

Итак, получаем:

.