10310

[Введите текст]

a,b c | a | (Прa (b c) | a | (Прab Прac)

| a | Прab | a | Прac a,b a,c .

Интересно отметить, что скалярное произведение вектора на себя дает

a,a | a | | a | cos0 | a |2 ,

поэтому модуль вектора выражается через скалярное произведение следующим образом

Пример. В параллелограмме ABCD одна из сторон вдвое больше дру-

гой и острый угол между ними равен 600 . Найти острый угол между диагоналями параллелограмма и проекцию малой диагонали на большую.

Введём декартову систему координат, взяв за начало точку A и выбрав базис {e1,e2} {0.5AB, AD} (см. рис.7.3). Пусть длины базисных векторов для определённости равны единице.

?

Рис. 7.3

В этом базисе диагонали параллелограмма имеют разложение

Искомые величины выражаются через скалярное произведение

Вычисляем скалярное произведение, применяя более компактное по написанию обозначение

50

[Введите текст]

d1 d2 (2e1 e2 ) (2e1 e2 ) 4e1 e1 e2 e2 3.

Модули векторов вычисляем по формуле (7.1):

7.2. Скалярное произведение в прямоугольных координатах. Вы-

разим скалярное произведение через координаты его сомножителей. Пусть

учитывая свойства скалярного произведения, получим

a,b axi ay j azk , bxi by j bzkaxbx i ,i axby i , j axbz i ,k

aybx j ,i ayby j , j aybz j ,k

azbx k ,i azby k , j azbz k ,k

axbx ayby azbz .

Итак, скалярное произведение равно сумме произведений одноимённых координат сомножителей:

a,b axbx ayby azbz .

51

[Введите текст]

Теперь мы в состоянии выразить полученные выше формулы для модуля вектора, проекции вектора на вектор и угла между векторами в координатах данных векторов. А именно,

В частности, условие ортогональности двух векторов выражается через их координаты следующим образом:

axbx ayby azb 0 .

Продемонстрируем, как в декартовой системе координат решаются некоторые задачи.

7.3. Деление отрезка в заданном отношении: найти координаты точки

C(x, y, z), которая делит отрезок, соединяющий точки A(x1, y1, z1 ) и B(x2 , y2 , z2 ) (внутренним или внешним образом), в отношении (см. рис. 7.4).

Покажем в заключение этого раздела, как векторная алгебра объясняет действие так называемого уголкового отражателя, представляющего собой комбинацию из трёх взаимно перпендикулярных зеркал. Многочисленные применения этого прибора связаны с его способностью менять направление света на строго противоположное независимо от того, с какого направления свет на него падает. Пусть луч света сначала попадает, например, на плоскость xOy и направляющий вектор этого луча a {ax ,ay ,az }.

Спрашивается, каков будет направляющий вектор a1 для отражённого луча?

Оба эти вектора одинаковой длины и расположены в плоскости, перпендикулярной к плоскости xOy . Очевидно, что у направляющего вектора отра-

жённого луча третья проекция сменит знак, а первые две проекции останутся прежними, т.е. a1 {ax ,ay , az } (см. рис. 7.5).

Рис. 7.5

Таким образом, отразившись от трёх координатных плоскостей, луч света будет иметь направление, противоположное первоначальному a3 { ax , ay , az } a .

53

[Введите текст]

Следующий рисунок иллюстрирует «работу» уголкового отражателя на конкретном примере.

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

Рис. 7.6

Уголковые отражатели применяются для точного измерения расстояний, обеспечения безопасности движения транспорта и в военном деле.

Лекция 8. Векторное и смешанное произведения векторов

8.1. Векторное произведение векторов. Векторным произведением

что:

c a и c b

упорядоченная тройка векторов {a,b,c} правоориентированная

c a b sin , где – угол между векторами.

Упорядоченная тройка векторов называется правоориентированной или правой, если после приведения их к общему началу с конца третьего вектора c кратчайший поворот от первого вектора a ко второму вектору

b виден происходящим против часовой стрелки. В противном случае – тройка называется левоориентированной или левой. При перестановке

54

[Введите текст]

местами любых двух векторов или при замене одного из векторов на противоположный тройка меняет ориентацию.

Рис. 8.1

С этим расположением векторов a , b , c связаны правоориентированная и левоориентированная декартовы прямоугольные системы координат.

Рис. 8.2

Обратим внимание на то, что значение модуля векторного произведе-

ния

c a b sin

равно площади параллелограмма, построенного на этих векторах

b

a

Рис. 8.3

55

[Введите текст]

В механике с помощью этой операции вычисляется момент силы. Пусть, например, O – одна неподвижная точка некоторого тела, к другой

точке A которого приложена сила F . Момент этой силы относительно неподвижной точки выражается векторным произведением M OA F ,

а его модуль равен M | F | | OA | sin | F |d – «произведению силы | F |

на плечо d | OA |sin ».

Рис. 8.4

Рассмотрим основные свойства операции векторного произведения. Во-первых, эта операция позволяет выяснить коллинеарны или нет два за-

данных вектора. А именно, векторы a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю

a || b a b 0 .

Действительно, это следует из равенства |a b | | a | | b | sin 0 0 .

Что произойдет, если в векторном произведении c a b переставить местами сомножители, т.е. что собой представляет вектор d b a ? Очевидно, что вектор d перпендикулярен векторам a и b , его модуль равен модулю вектора c , но тройка {b, a,c} стала левой, а, значит, тройка {b, a, c} будет правой. Таким образом, d c или [a b] [b a] .

O

56

[Введите текст]

Рис. 8.5

Умножение одного из сомножителей векторного произведения на число приводит к умножению результата на это число, т.е.

[ ka b ] [ a kb ] k [a b ] .

В выражениях, содержащих векторное произведение и сложение, скобки «раскрываются» так же, как и при обычном умножении и сложении, т.е.

[(a b ) c] [a c] [b c] .

Как найти векторное произведение, если его сомножители заданы своими координатами? Пусть векторы a и b в ортонормированном базисе векторов {i , j, k} , образующих правую тройку, имеют следующее разложение:

Вначале приведем таблицу векторного умножения базисных векторов, где в левом столбце находится первый сомножитель, в верхней строке – второй, а на пересечении строки и столбца соответствующее произведение.

Таблица 1. Вычисление векторного произведения координатных ортов в пра-

воориентированной системе координат

[Введите текст]

Теперь, используя эту таблицу и приведенные выше правила раскрытия скобок, получим:

[a b] [ ( axi ay j az k ) ( bxi by j bz k )] =

axbx[i i ] aybx[ j i ] azbx[k i ]axby [i j ] ayby [ j j ] azby [k j ]axbz [i k ] aybz [ j k ] azbz [k k ]

i (aybz azby ) j (axbz azbx ) k (axby aybx )

Чтобы запомнить, как вычисляются координаты векторного произведения, заметим, что

где в правой части равенства стоит символический определитель, раскрывая который по элементам первой строки, получим приведенное выше выражение векторного произведения через координаты сомножителей. Такое представление векторного произведения позволяет обнаружить те его свойства, о которых говорилось выше. Например, при смене порядка сомножителей в определителе поменяются местами две строки, что приводит к смене знака определителя, а, значит, к смене знака векторного произведения. Любознательный читатель может таким образом проверить справедливость и других свойств векторного произведения.

Полученное выражение векторного произведения через координаты сомножителей дает возможность вычислить площадь треугольника по координатам его вершин

Рис. 8.6

58

[Введите текст]

Образуя какую-нибудь пару векторов, например,

т.е. сначала находится вектор d a b , а затем он умножается скалярно на вектор c . Поэтому смешанное произведение иногда называют векторноскалярным произведением векторов. Отметим, что смешанное произведение выражается через скалярное и векторное произведения и не является ка- кой-то «новой» операцией над векторами. Как мы сейчас увидим, знак смешанного произведения говорит о взаимной ориентации данных трех векторов (правую или левую тройку они образуют), а его модуль дает объем параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Действительно, рассмотрим рисунки с правой и левой тройками векто-

ров

c

q b

a

q

b

Рис. 8.7

59