10310

[Введите текст]

x y 7 z 2 3 5 2

и найти её проекцию на эту прямую.

Выберем точку на прямой M1 (0, 7, 2) , тогда M1M 0 {2,6,1}. Вычис-

M1M 2 {x2 0, y2 7, z2 2} M 2 (3, 2, 4) , поэтому окончательно получаем

M 2 (3, 2, 4) .

В частности, таким способом можно находить расстояние между параллельными прямыми в пространстве как расстояние от точки, взятой на одной прямой, до другой прямой.

12.3. Пересечение прямых в пространстве. Пусть две прямые L1 и L2

заданы каноническими уравнениями

Выясним условия пересечения этих прямых. Предполагаем, что направля-

ющие векторы этих прямых S1 {m1, n1, p1} и S2 {m2 , n2 , p2} не коллинеарны, что исключает случаи параллельности или совпадения этих прямых, и, кроме того, точки M1 (x1, y1, z1 ) и M 2 (x2 , y2 , z2 ) различные (см. рис.12.6).

Рис. 12.6

90

[Введите текст]

Ясно, что прямые будут принадлежать одной плоскости, а значит пере-

Как найти координаты точки пересечения прямых? Проведём через каждую прямую плоскость, проецирующую эту прямую на какую-нибудь из координатных плоскостей. Например, рассмотрим плоскости, проецирующие эти прямые на плоскость xOy . Пересечение этих плоскостей – это пря-

мая, перпендикулярная плоскости xOy . Координаты точки пересечения этой прямой с плоскостью xOy совпадают с соответствующими координатами точки пересечения данных прямых (см. рис. 12.7).

Рис.12.7

Нахождение координат точки (x0 , y0 ) сводится к решению системы

а третья координата может быть найдена из уравнения прямой L1 или L2 . Пример. Доказать, что прямые

[Введите текст]

пересекаются и найти координаты точки их пересечения M 0 (x0 , y0 , z0 ) Про-

Следовательно, эти прямые пересекаются. Координаты точки пересечения находим, решая, например, систему

Её решение x0 7, y0 20 . Из уравнения, допустим, первой прямой найдем третью координату z0 3 . Итак, точка пересечения этих прямых

M 0 (7, 20,3).

12.4. Расстояние между двумя прямыми. Случай параллельных пря-

мых мы рассматривали в п.12.2. Поэтому пусть прямые скрещивающиеся, следовательно, расположены в параллельных плоскостях (см. рис. 12.8), расстояние между которыми и будет искомым расстоянием между прямыми.

Рис.12.8

92

[Введите текст]

между ними полагают равным нулю. Параллельные прямые, очевидно, принадлежат одной плоскости.

Под углом между пересекающимися прямыми будем понимать уголмежду их направляющими векторами S1 {m1, n1, p1} и S2 {m2 , n2 , p2}, если он острый, и угол в противном случае. Следовательно,

параллельными (см. рис.13.1).

Рис. 13.1

В частности, условие перпендикулярности двух прямых имеет вид

94

[Введите текст]

В частности, условие перпендикулярности и условие параллельности прямой и плоскости имеют вид

L П mA Bn Cp ;

L || П Am Bn Cp 0 .

В последнем случае, если дополнительно выполняется равенство

Ax0 By0 Cz0 D 0 ,

95

[Введите текст]

которое означает, что точка (x0 , y0 , z0 ) прямой L принадлежит плоскости П

, то прямая лежит в этой плоскости. Таким образом, принадлежность прямой, заданной каноническими уравнениями (13.2), плоскости П : Ax By Cz D 0 определяется выполнением условий

Am Bn Cp 0

Ax0 By0 Cz0 D 0 .

Если прямая L задана как линия пересечения двух плоскостей

A1x B1 y C1z D1 0

A2 x B2 y C2 z D2 0 ,

то ее направляющий вектор может быть получен как векторное произведение нормальных векторов этих плоскостей (см. рис. 12.3), т.е.

SN1 N2 ,

изадача нахождения угла между прямой и плоскостью сводится к преды-

дущей. В этом случае

П : Ax By Cz D 0 при условии, что они пересекаются. Перейдём от канонических уравнений прямой к параметрическим

Найдем значение параметра t1 , при котором соответствующая точка прямой принадлежит плоскости, т.е. удовлетворяет уравнению

A mt x0 B nt y0 C pt z0 D 0

или, что тоже,

[Введите текст]

Если Am Bn Cp 0 и Ax0 By0 Cz0 D 0 , то это уравнение не имеет

решений. Эти условия соответствуют тому, как мы выяснили выше, что прямая и плоскость параллельны и, следовательно, не пересекаются. Если Am Bn Cp 0 и Ax0 By0 Cz0 D 0 , то уравнение (13.2) имеет бес-

численное множество решений, т.е. прямая принадлежит плоскости. И, наконец, если Am Bn Cp 0 , то

Подставим это значение в параметрические уравнения прямой и найдем x1, y1, z1 – координаты точки пересечения прямой L с плоскостью П .

Если прямая L задана как линия пересечения двух плоскостей

A1x B1 y C1z D1 0

A2 x B2 y C2 z D2 0 ,

а плоскость задана уравнением Ax By Cz D 0 , то координаты точки

их пересечения находим, решая следующую систему трех линейных уравнений:

Здесь возможны варианты. Если определитель матрицы этой системы не равен нулю, то искомая точка пересечения единственна и находится, например, по правилу Крамера. Если определитель матрицы этой системы равен нулю, что означает компланарность нормальных векторов к этим плоскостям, то система может быть несовместна (см., например, рис. 13.3)

Рис. 13.3

97

[Введите текст]

или иметь бесчисленное множество решений, когда эти три плоскости пересекаются по одной прямой (см. рис. 13.4).

Рис. 13.4

Лекция 14. Другие задачи о прямых и плоскостях

Рассмотрим несколько типичных задач получения уравнений прямых или плоскостей, обладающих заданными свойствами.

Задача 1. Составить уравнения прямой L , проходящей через данную точку M x0 , y0 , z0 перпендикулярно к данной плоскости П : Ax By Cz D 0

.

98

[Введите текст]

= { , , }

0 0, 0, 0

L

Рис. 14.1

Очевидно, что в качестве направляющего вектора прямой можно взять нормальный вектор к плоскости, т.е. S N {A, B,C}. Отсюда следует, что уравнения искомой прямой имеют вид

Задача 2. Составить уравнение плоскости П , проходящей через данную точку M1 (x1, y1, z1 ) перпендикулярно к данной прямой L

Очевидно (см. рис. 14.2), что в качестве нормального вектора плоскости можно взять направляющий вектор прямой, т.е. N s m, n, p . Отсюда следует, что уравнения искомой плоскости имеет вид

Рис. 14.2

99