10310

[Введите текст]

Необходимые условия позволяют выделить точки, «подозрительные» на экстремум. Далее для каждой из них следует выяснить, есть ли экстремум в данной точке и, если есть, то каков он. Для этого существует следующие условия.

Достаточные условия экстремума. Если при «переходе» слева направо через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке максимум, а если с минуса на плюс, то минимум. Для дважды дифференцируемой функции это эквивалентно тому, что, если в стационарной точке x0 вторая производная отрицательна f (x0 ) 0 , то это

точка максимума, а если вторая производная положительна f (x0 ) 0 , то

это точка минимума.

В самом деле, смена знака производной означает переход функции от возрастания к убыванию или наоборот, что соответствует экстремуму. Для дважды дифференцируемой функции смена знака иторой производной, например, с плюса на минус при переходе через стационарную точку означает, что первая производная функции убывает в некоторой окрестности этой точки. Следовательно, производная от первой производной, т.е. вторая производная f (x) , должна быть отрицательной в этой окрестности, а значит и в самой точке, т.е. f (x0 ) 0 (см. рис. 22.6).

+

_

Рис. 22.6

Верно и обратное: если вторая производная отрицательна в точке x0 ,

то она, будучи непрерывной в этой точке, отрицательна в некоторой её окрестности. Значит, существует окрестность точки x0 , где её производная

f (x) , переходя через ноль ( f (x0 ) 0 ), меняет знак с плюса на минус. Следовательно, в точке x0 функция f (x) имеет максимум. В тех случаях, когда

вычисление второй производной проще, чем решение неравенства для первой производной, второе условие предпочтительнее.

Пример. Найти экстремумы функции y f (x) x3 3x 1. Функция определена на всей числовой прямой. Её производная

f (x) 3(x2 1) 3(x 1)(x 1)

160

[Введите текст]

Лекция 23. Исследование функций и построение их графиков (продолжение)

23.1. Выпуклость. Понятие выпуклости – одно из важнейших понятий всей математики. Мы ограничимся применением этого понятия к исследованию выпуклости графика функции. Обратимся к рисунку.

Пусть в промежутке (a,b) заданы две дифференцируемые функции. Их

графики – это непрерывные кривые, имеющие в каждой точке касательную. Обе функции возрастают в этом промежутке. Но график одной из них обращен «горбом» вниз, а у другой – в противоположную сторону. Это свойство кривой называют выпуклостью. Как описать это свойство в математических терминах?

В математике есть понятие выпуклой функции, применяемое к более широкому классу функций, чем класс дифференцируемых функций. Мы определим это понятие именно для дифференцируемых функций. Будем называть функцию y f (x) выпуклой (вниз) в промежутке (a,b) , если её

график лежит выше касательной в любой точке из этого промежутка (см.

рис. 23.2).

В противном случае функцию называют вогнутой (выпуклой вверх). Аналитически это свойство выразится следующим неравенством

f (x) f (x0 )(x x0 ) f (x0 ) Y (x) ,

правая часть которого представляет собой значение ординаты касательной.

162

[Введите текст]

R(x) f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) .

Применим формулу Лагранжа к разности f (x) f (x0 ) и получим

ведение ( x0 )(x x0 ) положительно независимо от расположения точки x

Рис. 23.3

163

[Введите текст]

Если же точка x расположена правее точки x0 (рис. 23.4), то картина будет следующей:

Поэтому график этой функции обращён выпуклостью вниз при отрицательных значениях аргумента и выпуклостью вверх при его положительных значениях.

Рис. 23.5

23.2. Точки перегиба. Точки графика функции, в которых направление выпуклости меняется на противоположное, называют точками перегиба. Например, у синусоиды это точки пересечения её графика с осью абсцисс. Необходимым условием существования точки перегиба графика дважды дифференцируемой функции является равенство нулю её второй производной в некоторой точке, а достаточным – перемена знака второй производной при «переходе» через эту точку. Найдем, например, точки перегиба кривой

164

[Введите текст]

Следовательно, точками перегиба могут быть только точки

При переходе через каждую из них вторая производная меняет знак, значит эти точки – точки перегиба (см. рис. 22.2).

При построении графиков полезно вычислить значение первой производной в точке перегиба, дающее направление касательной, относительно

которой происходит перегиб. В нашем примере y (P1,2 ) 0,65 .Кроме того

заметим, что в точках перегиба вторая производная может и не существовать, что видно на графике следующей функции

Рис. 23.6

23.3. Асимптоты. Иногда кривая, имеющая бесконечную ветвь, при удалении её точек в бесконечность «как бы выпрямляется» и приближается к некоторой прямой. Эту прямую называют асимптотой кривой (греч. asymptotos – несливающаяся). Если авторы этого термина подчеркивали то,

165

[Введите текст]

что кривая не сливается с прямой, то мы обращаем внимание на то, что расстояние точки кривой (x, f (x)) до прямой – асимптоты стремится к нулю

при движении точки вдоль кривой к бесконечности. Пример кривой, имеющей асимптоты, даёт график функции y 1 x

Рис. 23.7

Рассмотрим одну из ветвей этой кривой. Когда точка M (x, y) стремится к бесконечности, то расстояние её до оси Oy , равное d x , стре-

асимптота. Как найти вертикальные асимптоты кривой, заданной уравнением y f (x)? Необходимым условием для этого является существование точек разрыва функции. Достаточным условием будет одно из следующих:

lim f (x) ,

x x0 0

где x0 точка разрыва.

Горизонтальные асимптоты кривых, определённых в бесконечном промежутке, определяются существованием конечных пределов:

асимптоту y k x b . Как найти величины k и b ? Ограничимся рассмотрением случая, когда x .

166

[Введите текст]

Рис. 23.8

Для того чтобы произведение двух сомножителей, один из которых стремится к бесконечности, стремилось к нулю, необходимо стремление к нулю второго сомножителя, откуда имеем

. Если один из пределов не существует или равен , то соответствующей асимптоты нет. Например, функция y x2 не имеет асимптот. Или другой пример: для функции y x ln x имеем

[Введите текст]

т.е. у этой кривой нет наклонной асимптоты. Теперь приведем пример кривой, имеющей наклонную асимптоту

12

10

8

4

Рис. 23.9

23.4. Примерный план исследования функции. Приведём краткий перечень вопросов, на которые нужно ответить при исследовании функции.

1.Область определения. Чётность, нечётность, периодичность. Исследование в окрестности точек разрыва (возможны вертикальные

168

[Введите текст]

асимптоты). Точки пересечения с осями, поведение на бесконечности (возможны горизонтальные асимптоты).

2.Экстремумы. Интервалы возрастания и убывания (различать «гладкие» экстремумы и «остриё» или излом).

3.Точки перегиба, интервалы выпуклости (полезно вычислить производную в точке перегиба)

4.Наклонные асимптоты.

Заметим, что перечисленный порядок вопросов совсем не обязатель-

ный.

169