10303
.pdfЛекция 51. Применение двойных интегралов для вычисления площади поверхности и решения задач механики
51.1. Вычисление площади поверхности с помощью двойного ин-
теграла. Мы умеем вычислять площади поверхности цилиндра и конуса, переходя к их развѐрткам на плоскость (рис. 51.1 и 51.2).
r
|
h |
S |
2 r h |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
r |
|
|
Рис. 51.1 |
|
|
|
|
Развѐртка конуса с радиусом основания |
|
r и |
образующей |
l – это |
|
сектор круга радиуса |
l и длиной дуги 2πr . |
|
Если |
всей длине окружно- |
|
сти 2πl соответствует площадь πl2 , то сектору с длиной дуги |
2πr со- |
||||
ответствует площадь |
πrl . |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
S |
|
rl |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
r |
|
|
2 r |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
Рис.51. 2
Перейдѐм к более сложной ситуации. Рассмотрим в пространстве поверхность, заданную уравнением z f (x, y). Часть этой поверхности, ог-
раниченную линией Г , обозначим Q . Предполагаем при этом, что функция z f (x, y)является непрерывной вместе со своими частными производными. Ставим задачу найти площадь S поверхности Q . Для еѐ реше-
ния можно использовать двойной интеграл. Но вначале нужно определить, что понимать под площадью поверхности в этом случае.
72
Проекцию пространственной линии Г на плоскость xOу обозначим L .Проекцию поверхности Q на плоскость xOу обозначим D –это плоская область, ограниченная линией L .Разобьѐм область D на n частей D1, D2 , ..., Dn . В каждой подобласти Di выберем точку Pi (xi , yi ) . Этой точке соответствует на поверхности Q точка Mi (xi , yi , zi ) (рис. 51.3).
Рис. 51.3
Проведѐм через точку Mi касательную плоскость αi к поверхности Q . Еѐ уравнение имеет вид
|
z z |
|
|
f |
(x x ) |
f |
|
( y y ) , |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
i |
|
|
x i |
i |
y |
i |
i |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где коэффициенты |
|
f |
и |
|
f |
представляют собой значения частных |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x i |
|
|
y |
i |
|
|
|
|||
производных функции z |
f (x, y)в точке Mi (xi , yi , zi ) . На касательной плос- |
кости выделим область Qi , которая проецируется на частичную подобласть Di в плоскости xOу (рис. 51.4). Площадь подобласти Qi обозначим qi . Если для всех частей Di плоской области найти соответствующие им области Qi на касательных плоскостях к исходной поверхности, то сумма
n
их площадей In
i 1
площади.
Рис. 51.4
Ясно, что чем «мельче» будет разбита область D на части, тем точнее сумма In будет соответствовать тому числу, которое следует считать
площадью поверхности Q . За точное значение S площади поверхности Q естественно принять предел сумм In при неограниченном увеличении числа подобластей Di . Как обычно, будем предполагать, что диаметр раз-
биения стремится к нулю при n |
|
, т.е. |
|
|
|
|
|
n |
|
|
S |
lim |
q . |
|
|
|
i |
|
|
|
|
dn 0 i |
1 |
|
Итак, определение площади S мы дали. Чтобы еѐ вычислить, необ- |
||||
ходимо связать величины площадей |
qi и Si плоских областей |
Qi и |
||
Di . Касательная плоскость αi образует с координатной плоскостью |
xOу |
двугранный угол, измеряющийся линейным углом, который мы обозна-
чим |
i |
(рис. 51.4). Поэтому |
|
q |
|
|
|
|
|
Si |
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
| cos |
i | |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Нормальный вектор к касательной плоскости αi |
имеет координаты |
|||||||||||||||||||||
N i |
( |
f x |
i |
, |
f y |
i |
,1) , а |
|
нормаль |
к |
плоскости |
|
xOу – вектор |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
{0,0,1}. Поскольку угол между плоскостями равен углу между нор- |
||||||||||||||||||||||
мальными векторами к ним, для угла |
i |
получим соотношение |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k, |
Ni ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
| cos i | |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ |
fx i |
f y i |
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
Ni |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
74 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тем самым,
n |
n |
|
qi |
i 1 |
i 1 |
S 1 |
fx |
2 |
f y |
2 |
. |
|
i |
i |
|||||
i |
|
|
|
Заметим, что это интегральная сумма для функции |
|
2 |
zy |
2 |
, |
|||||||
1 zx |
|
|||||||||||
поэтому формула площади |
S всей поверхности Q |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
z |
2 |
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
dxdy . |
|
|
|
||||
S |
lim |
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
i |
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
||
|
dn |
0i 1 |
D |
|
|
|
|
|
|
|
Найдѐм площадь поверхности полусферы радиуса R (рис. 51.5). В декартовых координатах верхняя полусфера задается уравнением
z R2 x2 y2 .
Рис. 51.5
Найдѐм подынтегральное выражение
z |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
, |
|
|
z |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
R |
2 |
|
x |
2 |
y |
2 |
|
|
R |
2 |
x |
2 |
|
y |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
z 2 |
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
2 |
|
x |
2 |
y |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Область D представляет собой круг радиуса R в плоскости xOу . Поэтому, переходя к полярным координатам, получаем
2π |
R |
R |
|
|
|
2π |
R |
R |
|
r2 )_ |
1 |
|
|
2π |
|
S d |
|
|
|
|
rdr |
|
d |
(R2 |
2 |
d(R2 |
r2 ) |
R2d 2πR2 . |
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
0 R2 |
r2 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
75 |
|
|
|
|
|
51.2. Масса, статические моменты, координаты центра тяжести и моменты инерции плоской фигуры. Если плоскую область рассматри-
вать как материальную пластинку, толщиной которой можно пренебречь, то с помощью двойного интеграла можно находить для неѐ координаты центра тяжести и моменты инерции относительно некоторой оси или точки.
Напомним, что для системы n материальных точек (xi , yi ) , с массами mi (i 1, 2, , n) , расположенных на плоскости координаты центра тяжести вычисляют по формулам
xc |
n mi xi |
n mi , yc |
n mi yi |
n mi . |
|
i 1 |
i 1 |
i 1 |
i 1 |
Величины |
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
M y |
mi xi , M x mi yi |
|
|
|
i 1 |
|
i 1 |
|
называются статическими моментами системы точек относительно координатных осей Oy и Ox .
Моментом инерции I1 материальной точки P с массой m относи-
тельно какой-либо оси называется произведение массы m на квадрат
расстояния r от точки P до этой оси I mr2 |
. Если в качестве r рас- |
1 |
|
сматривается расстояние от точки P до точки |
O , то момент инерции |
точки P с массой m относительно точки O определяется по той же |
|
формуле. Моментом инерции системы n материальных точек с массами |
|
mi (i 1, 2, , n) относительно оси или точки |
O называется сумма мо- |
ментов инерции точек системы, т.е., моменты инерции относительно координатных осей Oy и Ox имеют вид
|
I |
ny |
n m x2 |
и |
I |
nx |
n m y2 |
, |
|
|
i i |
|
|
i i |
|
||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
i 1 |
|
а момент |
инерции относительно |
начала |
координат равен их сумме |
|||||
Ino Iny |
Inx . |
|
|
|
|
|
|
|
Физические понятия, рассмотренные для системы масс, перенесѐм на
плоские области. Определим их для |
пластинки, занимающей некоторую |
||
область D в плоскости xOу . Рассмотрим произвольную точку |
P пла- |
||
стинки, окружив еѐ малой областью Di площади |
Si . Пусть |
Mi – ко- |
|
личество массы, приходящейся на |
площадь Si . |
Тогда приближѐнным |
значением плотности области D |
можно считать их отношение |
γ |
Mi |
. |
|
||||
i |
i |
Si |
||
|
|
|
||
|
76 |
|
|
|
Поверхностной плотностью γ в точке P называется предел приближѐн-
ного значения плотности, если |
Di |
стягивается в точку и Si 0 |
||
|
γ |
lim |
Mi |
. |
|
|
|||
|
|
Si 0 |
S |
|
|
|
|
i |
|
В каждой точке области D |
поверхностная плотность, вообще говоря, |
своя, отличная от плотности в других точках, то есть поверхностная плотность является функцией точки. Поскольку точка P на плоскости xOу
задаѐтся двумя координатами, получаем функцию двух переменных
γ γ(x, y) .
Разобьѐм область D на малые подобласти Di , в каждой из которых выберем произвольную точку Pi (xi , yi ) с плотностью γ(xi , yi ) в ней.
Будем считать плотность подобласти |
D постоянной и равной γ(xi , yi ) . |
|
|
|
i |
Тогда масса Di равна Mi |
γ(xi, yi ) |
Si , а приближѐнное значение массы |
M всей пластинки |
|
|
n |
Mi |
n γ(xi, yi ) Si. |
i 1 |
i |
1 |
Точное значение массы рассматриваемой плоской пластинки D получим, устремив к нулю размеры частей Di , на которые она раздроблена
|
M |
lim |
n γ(xi, yi ) |
Si |
|
γ(x, y)dxdy . |
||||
|
|
dn |
0i 1 |
|
|
D |
|
|
||
Если далее считать, что вся масса |
Mi |
подобласти |
Di сосредоточена в |
|||||||
точке Pi (xi , yi ), то можно рассматривать фигуру |
D как систему матери- |
|||||||||
альных точек. Это даѐт приближѐнное значение статических моментов D |
||||||||||
относительно координатных осей Oy и Ox |
|
|
|
|
||||||
M |
n |
x M |
i |
n x γ(x , y ) S , |
M |
x |
n y γ(x , y ) S . |
|||
|
y |
i |
i i |
i |
i |
|
i |
i i i |
||
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
i 1 |
|
При диаметре разбиения, стремящемся к нулю, интегральные суммы перейдут в пределе в двойные интегралы, которые называются статически-
ми моментам и плоской фигуры D относительно осей Oy и Ox
M y |
x γ(x, y)dxdy и |
M x |
y γ(x, y)dxdy . |
|
D |
|
D |
Формулы, позволяющие вычислять |
координаты центра тяжести |
плоской фигуры, имеют тот же вид, что и для системы материальных то-
77
|
|
M y |
|
|
M |
чек |
xc |
|
, |
yc |
Mx , только статические моменты и масса вычисляются |
M |
уже не через суммы, а с помощью двойных интегралов.
Для однородной пластинки D , имеющей постоянную во всех точках поверхностную плотность γ(x, y) γ , масса выражается через еѐ площадь M S , а при вычислении статических моментов постоянный множитель можно вынести за знак двойных интегралов. Поэтому формулы для ко-
ординат центра тяжести в этом случае приобретают вид
xc |
1 |
xdxdy, yc |
1 |
ydxdy |
. |
S |
S |
|
|||
|
D |
D |
|
Рассуждая аналогичным образом, моментом инерции плоской фигу-
ры D относительно некоторой оси или точки назовѐм двойной инте-
грал по этой области от функции, равной квадрату расстояния от точки фигуры до этой оси или точки. В частности, моменты инерции относительно координатных осей приобретут вид
Ix |
y2γ(x, y)dxdy, I y |
x2γ(x, y)dxdy . |
D |
|
D |
Определим координаты центра тяжести однородного полукруга ра-
диуса R (см. рис. 51.6)
y
|
|
С(0,?) |
|
|
|
Рис. 58.7 |
x |
|
|
|
|
R |
O |
|
R |
Рис. 51.6
Перейдѐм в двойном интеграле к полярным координатам и вычислим
его
yc |
2 |
|
ydxdy |
2 |
r sin rdrd |
|
R2 |
R2 |
|||||
|
|
D |
||||
|
|
D |
|
|
78
2 |
|
R |
2 |
|
2 |
|
R3 |
|
|
4R . |
|
0 d |
0 r |
sin dr |
|
d |
|||||||
|
|
|
|
|
3 sin |
|
|||||
|
R2 |
|
R2 0 |
3 |
|||||||
Итак, центр тяжести полукруга имеет координаты (0, |
4R |
) . |
|
||||||||
3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим далее момент инерции круга радиуса |
R |
относительно его |
центра. Для этого начало координат расположим в центре круга. Считаем
плотность постоянной γ |
1. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Io |
(x2 |
y2 )dxdy . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
После перехода к полярным координатам получим |
|
|
|
|
||||||||||||
Io |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
R |
3 |
2 R4 |
|
R4 . |
|
(r |
|
cos |
|
r |
|
sin |
|
)rdrd |
d |
|
r dr |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 4 |
2 |
|
|||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
79
Лекция 52. Определение тройного интеграла и его вычисление
в декартовых и цилиндрических координатах
Перейдѐм теперь к функциям трѐх переменных. Для их интегрирования введѐм ещѐ один вид интеграла.
52.1. Задача о нахождении массы материального тела. Рассмотрим ограниченное материальное тело G в пространстве и поставим задачу найти его массу. Для введения понятия объѐмной плотности рассмотрим про-
извольную точку |
P пространственной области G , окружив еѐ малой об- |
|||||||||
ластью Gi объѐма |
Vi . Пусть |
Mi – количество массы, приходящейся на |
||||||||
объѐм |
Vi . Тогда приближѐнное значение плотности области Gi |
есть от- |
||||||||
ношение |
i |
Mi |
. |
Объѐмной плотностью |
в точке P называется предел |
|||||
|
||||||||||
|
|
Vi |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
этого отношения, |
когда Gi |
стягивается |
в точку и |
Vi |
0 , т.е. |
|||||
lim |
|
Mi |
. В каждой точке P области G объѐмная плотность |
, вооб- |
||||||
|
|
|||||||||
Vi 0 |
V |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
ще говоря, своя, отличная от плотности в других точках, то есть объѐмная плотность является функцией точки (x, y, z) .
Воспроизведѐм рассуждения, аналогичные тем, которые использовались при нахождении объѐма цилиндрического тела и массы плоской пла-
стинки. Во-первых, разобьѐм тело |
G на n тел G , G , …,Gn . Далее в преде- |
|||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
лах каждого тела Gi |
будем считать объѐмную плотность |
постоянной и |
||||||
равной еѐ значению |
(xi , yi , zi ) в некоторой точке Pi(xi, yi, zi) |
этого телаGi . |
||||||
Тогда для массы |
Mi |
получим приближѐнное значение, выраженное через |
||||||
объѐм |
Vi части |
пространства, занимаемой |
телом |
Gi , |
в |
виде |
||
Mi |
(xi , yi , zi ) |
Vi . Общая масса |
M тела G в этом случае представляется |
|||||
суммой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
(52.1) |
|
|
|
M |
(xi , yi , zi ) Vi |
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
Естественно, |
что чем больше n и чем меньше диаметр разбиения dn , |
|||||||
тем записанные формулы точнее выражают величину массы |
Mi |
и M . |
Под диаметром разбиения понимаем, как и ранее, наибольший из диаметров тел Gi , и в качестве диаметра пространственной области (т.е. тела Gi )
рассматриваем наибольшее расстояние между его точками. Если будет су-
ществовать предел правой части в формуле (52.1) при n |
и dn 0 , то |
||||
он и будет давать искомое точное значение массы |
|
||||
|
|
n |
|
, zi ) Vi . |
|
M = lim |
(xi |
, yi |
|
||
dn |
0 |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80 |
|
|
|
52.2. Определение тройного интеграла. Чтобы ввести математиче-
ское понятие тройного интеграла функции |
f (x, y, z) по пространственной |
||||||||
области |
|
, будем сохранять способ рассуждений, использовавшийся для |
|||||||
вычисления массы пространственного материального тела. |
|||||||||
Пусть в замкнутой пространственной области |
определена функция |
||||||||
f (x, y, z) . Разобьем область |
на |
n частей |
, |
2 |
, …, |
n . В каждой подоб- |
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
ласти |
i |
выберем точку Pi(xi, yi, zi) и сформируем так называемую инте- |
|||||||
гральную сумму |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
In |
n f (xi,yi,zi) Vi , |
|
|||
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
где f (xi,yi,zi) – значение функции в точке |
Pi(xi, yi, zi) , а Vi – объѐм по- |
||||||||
добласти |
i . Естественно, |
In зависит не только от n , но и от того, каким |
|||||||
образом делится |
на подобласти, и от того, какие точки Pi выбираются |
||||||||
внутри |
i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим произвольную последовательность интегральных сумм, |
|||||||||
составленных для функции |
f (x, y, z) в области |
|
при различных способах |
||||||
разбиения |
на части. Будем предполагать, |
что диаметр разбиения dn |
|||||||
стремится к нулю при n |
. Если существует предел интегральных сумм |
In при диаметре разбиения, стремящемся к нулю, и этот предел не зависит
ни от способов разбиения области |
на подобласти |
, |
2 |
, …, n , ни от |
|
|
|
|
1 |
|
|
способа выбора точек Pi в каждой подобласти |
i , то он называется трой- |
||||
ным интегралом функции f (x, y, z) |
по области |
и обозначается |
f (x, y, z)dV .
Функция |
f (x, y, z) в этом случае |
называется интегрируемой в области |
;область |
называется областью |
интегрирования. |
Используя независимость предела интегральных сумм для интегрируемой функции от способа разбиения исходной области на части, разобьѐм область на подобласти плоскостями, параллельными координатным плоскостям ( x const , y const и z const ). Три пары параллельных
между собой плоскостей ограничивают область i , представляющую собой параллелепипед (рис. 52.1), объѐм которого выражается через прира-
щения координат Vi xi yi |
zi , и интегральная сумма приобретает вид |
||
I |
n |
n f (x , y , z ) x y z , |
|
|
i i i i i |
i |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
81 |
|