10303
.pdfРис.53.2
Чтобы найти элементы объёма в сферических координатах, построим поверхности семейств ρ = const (сферы), θ = const (конические поверхности с вершиной в начале координат) и ϕ = const (полуплоскости, проходящие через ось Oz). Рассмотрим один из элементов Ωi , ограниченный
сферами радиусов ρ и ρ + dρ , конусами растворов θ и θ + dθ , а также полуплоскостями, проведёнными через ось Oz, следы которых в плоскости xOу имеют полярные лучи ϕ и ϕ + dϕ (рис. 53.3).
z
dρ
ρsinθdϕ
ρ
Ωi
ρsinθ
θdθ
ρdθ |
y |
ϕ
ρdϕ
x
Рис. 53.3
Представив подобласть Ωi как прямоугольный параллелепипед со сторонами dρ , ρdθ и ρsinθdϕ, получим элементарный объём в виде
dV =ρ2 sinθ dρdϕdθ. Поэтому формула перехода в тройном интеграле от декартовых координат к сферическим приобретает вид
92
∫∫∫ f (x,y,z)dxdydz=∫∫∫ f(ρsinθcosϕ,ρsinθsinϕ,ρcosθ)ρ2sinθdρdϕdθ . |
|
Ω |
Ω |
Итак, при переходе в тройном интеграле от декартовых к сферическим координатам подынтегральная функция должна быть выражена через переменные ρ ,ϕ и θ по формулам (53.1), а также умножена на ρ2sinθ.
Сферические координаты используем для нахождения объёма тела Ω, ограниченного сферой x2 + y2 + z2 = 2az и двумя коническими поверхностями x2 + y2 = z2tg2α и x2 + y2 = z2tg2β, если 0 < α <β < π2
(рис. 53.4).
Рис. 53.4
Пользуясь формулами, связывающими декартовы и сферические координаты, запишем уравнение исходной сферы с центром в точке (0,0,a) и
радиуса a в виде
ρ2 sin2 θcos2 ϕ+ρ2 sin2 θsin2 ϕ+ρ2 cos2 θ = 2aρcosθ,
что дает после преобразований ρ = 2acosθ.
Теперь можно задать область Ω в сферических координатах условия-
ми
0≤ρ≤2acosθ, 0≤ϕ≤2π, α≤θ≤β.
Тогда объем находится следующим образом:
|
β |
2π 2acosθ |
|
V =∫∫∫ρ2sinθdϕdρdθ=∫dθ ∫ dϕ |
∫ ρ2sinθdρ= |
||
Ω |
α |
0 |
0 |
=β∫dθ2π∫ sinθ83a3 cos3θdϕ= 4π3a3 (cos4 α−cos4β) .
α 0
93
Заметим, что сферические и цилиндрические координаты являются ортогональными координатами (их координатные линии пересекаются под прямым углом). Иногда применяют и неортогональные координаты, но мы оставим это за рамками нашего рассмотрения.
53.2. Статические моменты, координаты центра тяжести, моменты инерции пространственных тел. Если пространственную область Ω рассматривать как материальное тело, то с помощью тройного интеграла можно находить для него координаты центра тяжести и моменты инерции относительно некоторой плоскости, точки или оси. Формулу нахождения массы пространственного тела как интеграла от объёмной плотности мы уже получили.
Пусть ограниченное материальное тело Ω в пространстве имеет объёмную плотность, заданную функцией γ = γ(x, y,z). Для определения координат центра тяжести плоских областей использовались статические моменты относительно осей координат. Для пространственной области следует рассматривать статические моменты Myoz,Mxoz,Mxoy относи-
тельно соответствующих координатных плоскостей.
Будем рассуждать так же, как при нахождении массы пространственного тела. Во-первых, разобьём тело Ω на n тел. В пределах каждого тела Ωi будем считать объёмную плотность постоянной и равной её значению
γ(xi, yi, zi) в некоторой точке Pi(xi, yi, zi) . Если далее считать, что вся масса
Mi подобласти Ωi сосредоточена в точке Pi(xi, yi, zi) , то можно рассматривать тело Ω как систему материальных точек. Тогда для статического
момента относительно координатной плоскости |
yOz получим прибли- |
жённое значение, выраженное через объём Vi |
части пространства, зани- |
маемого телом Ωi
n
Myoz ≈∑xi
i=1
n
Mi ≈∑xi γ(xi,yi,zi) Vi .
i=1
При диаметре разбиения, стремящемся к нулю, интегральные суммы перейдут в пределе в двойной интеграл
Myoz = ∫∫∫xγ(x, y,z)dxdydz .
Ω
Аналогично получаются статические моменты относительно других координатных плоскостей. С помощью этих статических моментов вычисляются координаты центра тяжести телаΩпо формулам
94
x = |
Myoz |
, y = |
M |
xoz |
, z = |
Mxoy |
. |
|
M |
M |
M |
||||||
c |
c |
c |
|
При постоянной объёмной плотности эти формулы приобретают вид
xc = |
1 |
∫∫∫ xdxdydz, |
yc = |
1 |
∫∫∫ ydxdydz, |
zc = |
1 |
∫∫∫ zdxdydz . |
V |
V |
V |
||||||
|
|
Ω |
|
|
Ω |
|
|
Ω |
Найдем для примера центр тяжести однородного поллушара радиуса R с центром в начале кооординат (рис. 53.5). Из соображенний симметрии яс-
но, что две координатты центра тяжести xc и yc равны 0. Чтобы вычислить zc , записываем соответствующую формулу
zc = 2π3R3 ∫∫∫Ω zdxdydz .
Рис. 53.5
Учитывая, что сечениие D |
полушара |
плоскостью z =const представляет |
|||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
собой круг радиуса |
|
R2 −z2 |
(рис. 53.5) с площадьюS(z)= π(R2 −z2), по- |
||||
лучим |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
R |
− z2)dz = πR4 . |
∫∫∫zdxdydz =∫ zdz∫∫dxdy = ∫zS(z)dz = ∫zπ(R2 |
|||||||
Ω |
0 |
Dz |
|
0 |
0 |
4 |
|
|
|
||||||
Окончательно найдем |
z = |
|
3 |
πR4 |
=3R. |
|
|
2πR3 |
|
||||||
|
|
c |
4 |
8 |
|
Моменты инерции относительно осей, точек и координатных плоскостей для пространственных тел определяются аналогично моментам инер-
95
ции плоских фигур: интегрируется произведение плотности на квадрат расстояния до оси, точки или плоскости. Нужно учесть при этом, что рас-
|
|
|
|
|
|
|
|
стояние от произвольной точки |
P(x, y,z) до оси Ox равно y2 + z2 , до оси |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
равно x2 + y2 , до плоскости xOу равно z |
||||
Oy равно x2 + z2 , до оси Oz |
|||||||
и так далее (рис. 53.6). |
|
|
|
|
|
Рис. 53.6
Поэтому момент инерции относительно оси Ox записывается в виде
Ix =∫∫∫(y2 + z2)γ(x,y,z)dxdydz ,
Ω
момент инерции относительно координатной плоскости xOу
Ixoy =∫∫∫z2γ(x,y,z)dxdydz,
Ω
аналогично – для других осей координат и координатных плоскостей. Момент инерции относительно начала координат равен
I0 = Ixoy + Ixoz + Iyoz .
Записанные формулы упрощаются в случае однородных пространственных тел с постоянной объёмной плотностью.
Найдем для примера момент инерции тела, полученного в результате вращения вокруг оси Oz криволинейной трапеции aABb(рис. 53.7) относительно его оси симметрии.
96
Рис. 53.7
Здесь y = f (z)– неотрицательная и непрерывная на отрезке |
a,b |
функ- |
|
|
|
|
|
ция. Считаем объёмную плотность постоянной γ(x, y,z) ≡ γ |
и используем |
выписанную ранее формулу в виде
Iz = γ∫∫∫(x2 + y2 )dxdydz .
Ω
Вычисляем тройной интеграл
b
Iz = γ∫dz ∫∫ (x2 + y2 )dxdy ,
aDz
где Dz – сечение исходного тела вращения плоскостью z = const , которое представляет собой круг радиуса y(z). Если D - круг радиуса R с центром в начале координат, то, переходя к полярным координатам, можно найти
|
|
|
|
|
2π |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫∫(x |
2 |
+ y |
2 |
)dxdy = |
∫d |
ϕ∫(r |
2 |
|
|
2 |
ϕ + r |
2 |
|
2 |
ϕ)rdr = |
|
4 |
|
4 |
|||||
|
|
|
cos |
|
|
sin |
|
∫ |
r |
|
|
dϕ= πR |
||||||||||||
D |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда для тела вращения вместо R достаточно подставить его выражение |
||||||||||||||||||||||||
как функцию y(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
I = γ b |
π |
y 4 ( z ) |
dz = |
πγ |
b |
y 4 ( z )dz |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
∫ |
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
∫ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
Полученную формулу удобно использовать для вычисления моментов инерции конкретных тел вращения. Например, для конуса радиуса R и высоты H с постоянной плотностью γ(x, y,z) ≡ γ (см. рис.53.8) имеем
97
Рис. 53.8
|
|
π γ |
H R |
|
4 |
πγR 4 |
3 M R 2 |
|||||
I z |
= |
|
∫ |
|
|
z |
dz = |
|
H = |
|
, |
|
2 |
H |
1 0 |
1 0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0
так как его масса |
|
|
|
M = γ |
πR 2 H |
. |
|
3 |
|||
|
|
98
Раздел 10. Криволинейные интегралы
Лекция 54. Криволинейный интеграл 1-го рода (по длине дуги)
54.1. Определение. К понятию криволинейного интеграла 1-ого рода приводит вычислительная конструкция, возникающая, например, при попытке точного решения задачи об определении массы неоднородной материальной линии. Задача формулируется так. Пусть в каждой точке P(x, y, z) линии AB в пространстве определена плотность ρ(x, y, z)
(рис.54.1). Требуется найти массу этой линии.
Рис. 54.1
Под плотностью массы вдоль кривой AB в точке P0(x0, y0,z0) понима-
ется величина |
ρ |
( x , y , z ) = lim |
m , где l –длина отрезка кривой, со- |
|||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
l → 0 |
l |
|
|
|
|
|
держащего точку P0(x0, y0,z0), а m – масса этого отрезка. Если плотность в каждой точке линии одинакова и равна ρ0 , то масса вычисляется по формуле M=ρ0L, гдеL – длина кривой от точки Aдо точки B. Если же плотность вдоль линии изменяется, то эта формула неприменима.
Разовьем следующую идею приближенного вычисления массы этой линии.
Разделим |
линию |
AB на |
n небольших участков точками |
||
A = A ,A,A ,A ,...,A = Bи будем считать, что на участке A Aплотность по- |
|||||
0 |
1 2 |
3 |
n |
|
i−1 i |
стоянная, например, |
такая, как в некоторой точке P(ξi ,ηi ,νi ), принадлежа- |
щей, отрезку кривой Ai−1Ai . Тогда масса участка Mi может быть приближен-
но вычислена по формуле |
M |
i |
= ρ(ξ ,η ,ν |
) |
l |
,где |
l |
есть длина участка ли- |
|
|
i i i |
|
i |
|
i |
|
нии от точки Ai−1до точки Ai. Масса всей линии может быть приближенно вычислена по формуле
99
n |
n |
M = ∑Mi |
≈ ∑ρ(ξi ,ηi ,νi ) li |
i=1 |
i=1 |
В силу интегральной методологии естественно ожидать, что точное значение массы может быть получено в результате предельного перехода
n
M = limn→∞ ∑ρ(ξi ,ηi ,νi ) li
i=1
если, конечно, при n → ∞ длина каждого отрезка миться к нулю.
Обобщение этой вычислительной процедуры, отвлеченное от физического содержания, приводит к понятию криволинейного интеграла
1-го рода (по длине дуги). Пусть в пространстве в некоторой области D расположена линия AB и пусть в некоторой окрестности этой линии определена функция f (x, y, z) .Разделим линию AB на n участков точками A0 = A , A1, A2, A3,...,An = B.Длину участка линии от точки Ai−1до точки Ai
обозначим li . На участке линии Ai−1Ai выберем некоторую точку P(ξi,ηi,νi)
и сформируем следующую интегральную сумму:
|
n |
Sn = ∑f (ξi ,ηi ,νi ) li . |
|
|
i=1 |
Если существует предел S при |
n → ∞ и li →0, и он не зависит ни от |
n |
|
способа деления кривой AB на |
n частей, ни от выбора точек P(ξi,ηi,νi) на |
i-ом участке, то этот предел называется криволинейным интегралом 1-ого
рода (по длине дуги) от функции |
f(x,y,z) |
вдоль кривой A |
и обозначается |
|||||
как ∫ f (x,y,z)dl. Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
||
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
f (x, y,z)dl = limS = lim |
n |
f (ξ ,η ,ν ) |
l. |
|
|||
∑ |
(54.2) |
|||||||
|
n→∞ n |
n→∞ |
i i i |
i |
||||
AB |
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возвращаясь к задаче о нахождении массы неоднородной линии, можно с помощью введённого определения записать, что
M= ∫ f(x,y,z)dl. |
(54.3) |
AB |
|
Будем говорить, что кривая AB гладкая, если |
в каждой точке этой |
кривой существует касательная и угол наклона касательной непрерывно меняется при движении точки вдоль данной кривой. На рис. 54.2 кривая AB гладкая, а кривая LQ кусочно-гладкая, ибо в точках M и P касса тельная не существует.
100
Рис. 54.2
Теорема. Если н епрерывная кривая AB может бы ть разбита на конечное число гладки х кусков и в некоторой окрестн ости этой кривой функция f (x, y,z)непрерывна, то для нее существует криволинейный интеграл (54.2).
Наряду со свойст вами, которые имеют все рассмотренные ранее интегралы (постоянное чи сло можно выносить за знак интеграла; интеграл от суммы или разности двух функций равен сумме или раз ности интегралов от этих функций), от метим еще ряд свойств криволинейн ого интеграла 1-го рода.
а) Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой. Действительно, в формуле (54.2), множитель li ра-
вен длине i-го отрезка кривой и поэтому он не зависит о т направления. б) ∫ dl = L , где L – длина кривой AB . Действительно, если в (54.2)
AB
f (x, y,z) =1, то интег ральная сумма будет равна длине кривой от точки A
до точки B. |
|
|
в) Если точка C находится на кривой |
AB(см. рис. 54.1), то |
|
∫ f (x, y,z)dl = ∫ f (x, y,z)dl + ∫ f (x, y,z)dl. |
||
AB |
AC |
CB |
54.2. Вычислен ие криволинейного интеграла 1-го рода. Понятно, что, записав формулу (54.3), мы еще не дали способа вычисления массы, который бы отличал ся от вычислительной конструкции , приведенной в начале параграфа. Однако анализ конструкции (54.2) показывает, что при
достаточно общих |
предположениях относительно с войств функции |
f (x, y, z) и кривой |
A B вычисление криволинейного ин теграла 1-го рода |
сводится к вычислен ию обычного определенного интеграла. При этом существенную роль играет способ задания кривой AB .
Плоский случай. Явное задание кривой. Пусть кривая AB на плоско-
сти определена уравнением |
y=y(x), a≤x≤b. Рассмотрим сначала случай, |
когда вдоль кривой f (x, y) ≡1. Ввиду того, что |
|
|
n |
∫ dl = L = limn→∞ ∑ li = L , |
|
AB |
i=1 |
|
101 |