10303
.pdfxɺ = u(t),
yɺ = v(t),
zɺ = w(t),
uɺ = Fx (t,x, y,z,u,v,w),vɺ= Fy (t,x, y,z,u,v,w),wɺ = Fz (t,x, y,z,u,v,w)
Решив эту систему, можно получить не только траекторию движения точки, но и закон изменения её скорости.
Покажем, как можно найти интегральные кривые нормальной системы в простейшем случае двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами вида
x = ax + by |
|
|
ɺ |
|
|
ɺ |
, |
(48.1) |
y = cx + dy |
|
|
где x = x(t) , y = y(t) – неизвестные функции времени. Из (48.1) следует, что
dy = cx + dy , dx ax + by
а это есть не что иное, как дифференциальное уравнение первого порядка относительно неизвестной функции y = y(x), правая часть которого является однородной функцией своих аргументов. Согласно методу решения таких уравнений полагаем y/ x = u, гдеu – новая переменная, и задача сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными u и x .
48.2. Математическая модель «хищник-жертва». К нормальной системе дифференциальных уравнений приводится математическая модель, описывающая борьбу двух видов в живой природе (более подробно см. Ю.И. Неймарк «Математические модели в естествознании и технике», издательство ННГУ, 2004 г.). Эта модель связана с именами биофизика Альфреда Лотки (1880-1949) и математика Вито Вольтерра (1860-1940).
Рассмотрим пруд, в котором живут караси и щуки. Обозначим через x(t) и y(t)– функции, соответствующие числу карасей и щук в момент времени t .Будем предполагать, что x и y достаточно велики, чтобы эти функции можно было считать непрерывными и даже дифференцируемы-
52
ми. Предполагается также, что в пище для карасей нет недостатка, ив отсутствии щук караси размножаются экспоненциально со скоростью
dx = kx, k > 0, dt
которая пропорциональна их количеству. Что касается щук, то без карасей они вымирают экспоненциально со скоростью
dy = −l y, l > 0. dt
Предположим, что число «встреч» карасей со щуками пропорционально как числу карасей, так и числу щук, поэтому функция, определяющая количество карасей, удовлетворяет уравнению
dx = kx − axy, a > 0. dt
Щуки, съедая карасей, начинают размножаться со скоростью, пропорциональной числу этих «встреч», т.е. в результате получим уравнение
dy = −ly + bxy, b > 0. dt
Таким образом, приходим к системе уравнений Лотки – Вольтерра, представляющей собой простейшую модель экологической системы хищник— жертва
x = kx − axy |
|
|
ɺ |
|
|
ɺ |
. |
(48.2) |
y = −ly + bxy |
|
|
Коэффициенты этой системы «добываются» путём наблюдений, а ее решения находятся с помощью численного интегрирования. Ниже будут показаны графики решений для конкретной системы.
Некоторое качественное представление о сосуществовании карасей и щук может быть получено путем приведения этой системы к дифференциальному уравнению, связывающему между собой переменные x и y непосредственно, исключив из рассмотрения переменную t . А именно, если в системе (48.2) разделить одно уравнение на другое, то приходим к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными
53
k − ay dy = bx − l dx.
y |
x |
(48.3) |
|
|
Общее решение этого уравнения имеет видk ln y − ay = bx − lln x + C , поэтому его интегральные кривые можно представлять как линии уровня функции
z(x, y) = bx + ay − lln x − k ln y .
Рис. 48.1
На рис. 48.1для конкретной системы (48.4) показан ы сечения поверхности z(x, y) горизонтальными плоскостями. Из этого рисунка видно, что ее линии уровня представляют собой замкнутые кривые и что эта функция, по-видимому, имеет минимум. Действительно, приравниивая к нулю частные производные
∂∂z = b − l
x x
∂z = a − k
∂y y
получаем, что в точке M |
0 |
(x0 |
= l /b, y0 = k /a) |
возможен экстремум. Вы- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
числяя вторые производные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∂2z |
= |
|
l |
, |
|
∂2z |
= 0, |
∂2z |
= |
k |
, |
|
∂x2 |
|
x2 |
|
∂x∂y |
∂y2 |
y2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
убеждаемся, что здесьь выполняется достаточное условие экстремума
54
|
|
AC − B2 = l |
|
k |
|
> 0. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
(x0 )2 |
|
(y0 )2 |
|
|
|
|
|
|
В качестве иллюстрации рассмотрим, например, систему |
|
|||||||||||
|
|
ɺ |
= 0,8x − 0,001xy |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ɺ |
= −y + 0,001xy |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y |
|
|
|
|
|
(48.4) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ее правая часть определяет векторное поле скоростей (см. рис. |
||||||||||||
48.2)изменения количества карасей и щук: в каждой точке |
(x, y) |
мы име- |
||||||||||
ем вектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0,8x − 0,001xy; − y + 0,001xy). |
|
|
|
|||||||
1200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1100 |
|
|
M2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
900 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
800 |
|
|
(1000,800) |
|
|
|
|
|
M |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
700 |
|
|
|
|
|
|
(1300.700) |
|
|
|
||
600 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
700 |
800 |
900 |
1000 |
1100 |
|
1200 |
1300 |
|
1400 |
|
Рис.48.2
Дифференциальное уравнение (48.3) для этой системы имеет замкнутые интегральные кривые, подобные показанной кривой на рис. 48.2.Решения же x(t) и y(t)системы (48.4) определяют координаты точки, «пробегаемой» с течением времени по этим интегральным кривым. Каждая замкнутая интегральная кривая соответствует периодическим колебаниям количеств щук и карасей, причем направление «движения» по кривой определяется исходной системой дифференциальных уравнений (48.4).
55
Пусть, например, сначала было 1300 карасей и 700 щук. Подставляя
эти значения в правую часть системы |
(48.4), |
получим x(0) = 910 > 0, |
y(0) = 210 > 0.Следовательно, начиная с |
|
ɺ |
точки |
(1300,700) происходит |
|
ɺ |
|
|
рост как количества карасей, так и количества щук. Затем с точки M1 количество карасей убывает, а количество щук продолжает расти. Когда пищи для щук станет совсем мало, то их количество начнет уменьшаться (с точки M2 ) и т.д.
Точка(x0 = l /b, y0 = k /a) = (1000,800), в которой правые части уравнений (48.4) обращаются в ноль, соответствует состоянию равновесия системы, когда прирост карасей уравновешивается «деятельностью» щук, а прирост щук – их естественной смертностью.
На рис.48.4 приведены графики решения системы (48.4) с начальными условиями(x(0) =1000, y(0) =1100) , полученные численным интегрированием.
1400 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
караси |
|
|
щуки |
|
|
|
1300 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
900 |
|
|
|
|
|
|
|
|
800 |
|
|
|
|
|
|
|
|
700 |
|
|
|
|
|
|
|
|
600 |
|
|
|
|
|
|
|
|
500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
Рис.48.4
48.3. Метод исключения. Выше мы показали, как дифференциальное уравнение высокого порядка сводится к нормальной системе дифференциальных уравнений. Иногда систему дифференциальных уравнений решают методом исключения – приведением системы к дифференциальному уравнению высокого порядка. Продемонстрируем этот метод на примере линейной системы второго порядка
xɺ = ax + by
= + .
yɺ cx dy
56
Сведём ее решение к решению одного дифференциального уравнения второго порядка. Для этого продифференцируем по переменной t одно из уравнений системы, например, первое уравнениеɺɺx = axɺ + byɺ.Для того, чтобы исключить из полученного уравнения переменную y , подставим в него yɺ из второго уравнения данной системы
ɺɺx = axɺ + bcx + bdy .
Наконец, выражая переменную y из первого уравнения системы, получаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами относительно неизвестной функции x = x(t)
ɺɺx − (a + d)xɺ − (bс − ad)x = 0.
Подставив найденное решение x(t) = C1x1(t) + C2 x2 (t)в первое уравнение системы, получим вторую функцию
|
1 |
ɺ |
1 |
ɺ |
ɺ |
|
y(t) = b |
|
(t) − a(C1x1(t) + C2x2 (t)) . |
||||
(x − ax) = b |
(C1x1 |
(t) + C2x2 |
Ясно, что метод симметричен. Дифференцируя второе уравнение системы и исключая переменную x , получим уравнение второго порядка относительно функции y = y(t)
ɺɺy − (a + d)yɺ − (bс − ad)y = 0.
57
Раздел 9. Кратные интегралы
Лекция 49. Двойной интеграл: определение, свойства
В этой лекции мы переходим к рассмотрению способов интегрирования функций многих переменных. Интегралы, которые будут введены, являются обобщением понятия определѐнного интеграла для функции одной переменной. Напомним, что соответствующая лекция начиналась с рассмотрения задачи вычисления площади криволинейной трапеции. Сохраняя прежнюю логику рассуждений, начнѐм с геометрической задачи – нахождения объѐма цилиндрического тела.
49.1. Задача о вычислении объёма цилиндрического тела. Пусть на плоскости xOу задана область D , ограниченная линией L (где L - замкнутая кривая без самопересечений), и пусть в области D определена некоторая непрерывная функция z f (x, y) 0 .
Цилиндрическим телом будем называть тело G , ограниченное
1) |
плоскостью xOу , |
2) |
поверхностью z f (x, y), |
3) |
цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси |
Oz и направляющей L (рис. 49.1).
Рис. 49.1
Заметим, что это название достаточно условное. Например, полушар и конус оказываются «цилиндрическими телами». Некоторые авторы употребляют термин «тело с двумя крышками».
58
Ставим задачу найти объѐм тела G . Отметим, прежде всего, два
принципа, из которых следует исходить при |
определении объѐма про- |
извольного пространственного тела: |
|
1. Если тело G разбито на составные части G1,G2 ,...,Gn , то его объ- |
|
ѐм V равен сумме объѐмов всех частей, т.е.V |
V1 V2 ... Vn . |
2. Если цилиндрическое тело G представляет собой прямой цилиндр с |
|
высотой H и площадью основания S , то V |
SH . |
Теперь разобьѐм область D на подобласти D1, D2 , ..., Dn . Здесь и да-
лее под разбиением будем понимать представление D в виде объединения областей D1, D2 , ..., Dn , которые пересекаются между собой только по
границе (т.е. не имеют общих внутренних точек). В соответствии с этим тело G разобьѐтся на цилиндрические тела G1,G2 ,...,Gn , ограниченные
сверху кусками поверхности z f (x, y) (рис. 49.2). |
Рис. 49.2
Выберем в каждой частичной подобласти Di произвольную точку Pi (xi , yi ) и заменим цилиндрическое тело Gi прямым цилиндром с тем
же основанием (площади |
Si ) и высотой h |
f (x , y ) . По принципу 2 |
|
|
i |
i |
i |
объѐм этого прямого цилиндра равен Vi |
f (xi , yi ) |
Si . Суммируя объѐ- |
мы всех прямых цилиндров, получим объѐм «ступенчатого» тела, дающий приближѐнное значение объѐма исходного цилиндрического тела
|
n |
|
V |
f (xi , yi ) Si . |
(49.1) |
i |
1 |
|
|
59 |
|
Ясно, что чем «мельче» будет разбита область D на части, тем точнее объѐм «ступенчатого» тела будет соответствовать тому числу, которое следует считать объѐмом тела G . За точное значение объѐма естественно принять предел сумм (49.1) при неограниченном увеличении числа подоб-
ластей Di . Переходя к пределу при n , потребуем, чтобы все частич-
ные области стягивались в точку. Для этого введѐм понятие диаметра области Di как наибольшего расстояния между еѐ точками. Диаметром раз-
биения называется наибольший из диаметров областей Di . Обозначим его
dn .
Будем считать теперь по определению, что объѐм тела G есть предел, если он существует, к которому стремится сумма (49.1) при диаметре разбиения, стремящемся к нулю
|
|
n |
|
V lim |
f (xi , |
yi ) Si . |
|
dn |
0 i 1 |
|
|
49.2. Определение двойного |
интеграла. Чтобы ввести математиче- |
||
ское понятие двойного интеграла функции |
f (x, y) по области D ,будем |
сохранять способ рассуждений, использовавшийся для определения объѐма цилиндрического тела.
Рассмотрим в плоскости xOу область D , ограниченную замкнутой
линией L без самопересечений, причѐм точки, лежащие на границе, будем считать принадлежащими области. Такие области называются замкну-
тыми. Пусть в области D задана функция |
f (x, y) . Разобьѐм область |
на |
||||||
n |
частей |
D1, D2 , ..., Dn . В каждой подобласти |
Di выберем точку |
|||||
Pi (xi , yi ) и сформируем так называемую интегральную сумму |
|
|||||||
|
|
I |
n |
n f (x , |
y ) |
S , |
|
|
|
|
|
i |
i |
i |
|
|
|
|
|
|
i |
1 |
|
|
|
|
где |
f (x , y ) – значение функции в точке Pi , а |
Si |
– площадь области |
D . |
||||
|
i |
i |
|
|
|
|
|
i |
Рассмотрим произвольную последовательность интегральных сумм, составленных для функции f (x, y) в области D при различных способах
разбиения еѐ на части. Будем предполагать, что диаметр разбиения стремится к нулю при n .
Если существует предел интегральных сумм In при диаметре разбиения, стремящемся к нулю, и этот предел не зависит ни от способов разбиения области D на подобласти D1, D2 , ..., Dn , ни от выбора точек Pi в каждой подобласти Di , то этот предел называется двойным интегралом функции f (x, y) по области D и обозначается
f (x, y)ds .
D
60
Функция f (x, y) в этом случае называется интегрируемой в области
D ;область D называется областью интегрирования.
Используем независимость предела интегральных сумм для интегрируемой функции от способа разбиения исходной области на подобласти. Мы можем разбить область D на части прямыми линиями, параллельными
координатным осям ( x const и |
y const ). |
При этом площадь области |
|||
Di выражается через приращения координат |
Si |
xi yi , а интегральная |
|||
сумма приобретает вид |
|
n |
|
|
|
I |
n |
f (x , y ) x y . |
|||
|
|
i i |
i |
i |
|
|
i |
1 |
|
|
|
Поэтому для двойного интеграла в декартовых координатах используется ещѐ одно обозначение
f (x, y)dxdy .
D
Достаточным условием существования двойного интеграла является непрерывность функции f (x, y) в области D ,граница которой представ-
ляет собой кусочно-непрерывную кривую.
Пользуясь рассуждениями предыдущего параграфа, мы приходим к геометрическому смыслу двойного интеграла. Он состоит в том, что для
функции z |
f (x, y) |
0 двойной интеграл равен объѐму V цилиндриче- |
||
ского тела, |
ограниченного поверхностью z |
f (x, y). Итак, |
||
|
|
V |
f (x, y)ds . |
|
|
|
D |
|
|
Если же функция z |
f (x, y) 0 , то |
V |
f (x, y)ds |
|
|
|
|
|
D |
Рис. 49.3
61