10289

Из рисунков видно, что в случае правой тройки {a,b,c} вектор d a b

образует с вектором c острый угол q , а в случае левой тройки – этот угол тупой. С учетом того, что

a b,c | d | | c | cos q,

мы получим, что в первом случае знак смешанного произведения будет положительным, а во втором – отрицательным. Таким образом, знак смешанного произведения «говорит» о взаимной ориентации тройки векторов в пространстве.

А что означает равенство нулю смешанного произведения? Очевидно, что это будет тогда и только тогда, когда cos q 0 , т.е. q / 2 и,

следовательно, вектор c должен лежать в плоскости векторов a и b . Итак, обращение в нуль смешанного произведения эквивалентно компланарности данной тройки векторов.

900

Рис. 8.8

Теперь, что касается модуля смешанного произведения. Рассмотрим рисунок

Рис. 8.9

60

и запишем

| a b,c | | a | | b | | sin | | c | | cos q| S h V

гдеV – объем параллелепипеда, построенного на векторах a , b , c .

Итак, смешанное произведение некомпланарных векторов по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Нам осталось только научиться вычислять смешанное произведение векторов, заданных своими координатами. Пусть

a ax , ay , az , b bx ,by ,bz , с {cx ,cy ,cz }.

Тогда

Итак, мы получили выражение смешанного произведения через координаты сомножителей

ax ay aza b,c bx by bz .

cx cy cz

Следовательно, объём параллелепипеда, построенного на векторах a , b , c вычисляется по формуле

ax ay az V | bx by bz | .

cx cy cz

Часто возникает задача вычисления объема пирамиды по координатам ее вершин. Сведем эту задачу к вычислению объема параллелепипеда. Для этого разделим параллелепипед диагональным сечением на две равновеликих призмы

61

Рис. 8.10

В свою очередь каждую из полученных призм можно разделить на три равновеликих пирамиды.

Рис. 8.11

В заключение этой темы обратимся к геометрической интерпретации однородных систем линейных уравнений. Однородная система линейных уравнений всегда совместна, поскольку ранг расширенной матрицы совпадает с рангом основной матрицы. Одно из её решений очевидно. Это нулевое решение. Его называют тривиальным. Естественно возникает вопрос о существовании других решений. В «солидных» курсах алгебры доказывается, что для существования нетривиальных решений необходимо и достаточно, чтобы определитель системы однородных уравнений был равен нулю. Это утверждение становится очевидным (в трёхмерном случае), если сформулировать задачу на «языке» векторной алгебры.

Действительно, так как линейное уравнение вида a1x1 a2 x2 a3 x3 0

62

a a1,a2 ,a3 , b b1,b2 ,b3 , c c1,c2 ,c3 .

Очевидно, что такой ненулевой вектор x существует тогда и только тогда, когда векторы a, b,c лежат в одной плоскости, то есть они компланарны. А равенство нулю определителя этой системы

и есть условие компланарности этихвекторов.

Раздел 3. Аналитическая геометрия. Прямые и плоскости

Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Любая точка на плоскости однозначно определяется упорядоченной парой чисел – ее декартовыми координатами. Также и вектор на плоскости задается парой своих декартовых координат. В этой и ближайших лекциях мы получим аналитические представления для таких геометрических объектов, как прямая на плоскости, плоскость и прямая в пространстве.

9.1. Общее уравнение прямой.Пусть на плоскости с декартовой прямоугольной системой координат проведена прямая L , и мы хотим получить уравнение, связывающее координаты любой точки, принадлежащей этой прямой.

63

Рис. 9.1

Для этого зафиксируем какую-нибудь точку M 0 (x0 , y0 ) L и возьмем вектор

N A, B .

Раскрывая в (9.1) скобки, получим уравнение

где для краткости обозначено C Ax0 By0 .

Уравнение (9.2) называют общим уравнением прямой на плоскости. Обратим внимание, что уравнение прямой на плоскости является линейным уравнением относительно переменных x и y , а коэффициенты при них –

вектор N A, B и введём вектор r x, y . Тогда уравнение (9.2) можно представить в виде N,r C 0 или| N | ПрN r C . Отсюда

Пр N r C| N |,

64

Рис. 9.3

9.2.Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Иногда уравнение прямой удобно представить в другом виде. Пусть прямая L пересекает ось ординат в точке (0,b) и образует с положительным

направлением оси абсцисс угол , тангенс которого обозначим через k tg .

Рис. 9.4

Из рисунка следует, что для любой точки M (x, y) L выполняется

равенство

y b tg k , x

из которого следует уравнение прямой с угловым коэффициентом

коэффициентом k , проходящей через заданную точку, в виде

66

Заметим, что меняя в уравнении (9.5) величину k , мы получим множество прямых, проходящих через данную точку. Это множество прямых называется пучком прямых,проходящих через заданную точку.

9.3. Параметрические и каноническое уравнения прямой.Уравнение прямой L можно получить, задавая точку M 0 (x0 , y0 ) и

её направляющий вектор S {m, n} (см. рис. 9.5).

Рис. 9.5

Пусть M (x, y) L – произвольная точка. В силу коллинеарности векторов

Это так называемые параметрические уравнения прямой. Ясно, что при изменении значения параметра t в пределах от до точка M (x, y)

известно, прямая определяется двумя своими точками. Нетрудно понять, что вектор

M1M2 x2 x1; y2 y1

можно считать направляющим вектором данной прямой. Отсюда получим

уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Лекция 10. Прямые линии на плоскости

10.1. Взаимное расположение двух прямых. Пусть сначала две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом:

треугольника равен сумме внутренних углов, с ним не смежных). Отсюда

Иногда по заданному углу между прямыми и известному угловому коэффициенту одной из прямых нужно найти угловой коэффициент другой прямой. Поэтому нужно быть внимательными при применении формулы (10.1). Чтобы подчеркнуть, какой угол вычисляется по этой формуле, в ней ставят стрелку, показывающую, что угол отсчитывается от прямой с

Получить уравнение прямой, по которой направлен отражённый луч.