10289

точке функция будет непрерывной в этой точке. Обратное утверждение не верно, как показывает приведенный выше пример (см. рис. 18.2). В точке x 0 функция y | x | непрерывна, но недифференцируема.

Итак, непрерывность функции в данной точке – необходимое условие её дифференцируемости. Другими словами, если функция дифференцируема в данной точке, то она непрерывна в этой точке. Ввиду важности этого утверждения приведём его формальное доказательство.

lim y 0 , означающее непрерывность функции в данной точке.

x 0

Согласно определению теперь мы можем находить производные различных функций. Например,

Здесь мы использовали первый замечательный предел и свойство непрерывности функции y cos x , перейдя к пределу под знаком функции.

самостоятельно.

Несколько сложнее найти производную логарифмической функции

изгеометрического смысла производной, можно получить уравнение касательной к кривой в данной точке. Задача сводится к выбору из

Под углом между кривыми в точке их пересечения естественно понимать наименьший из углов между касательными к кривым в этой точке. Тогда угол может быть вычислен как угол между двумя прямыми с заданными угловыми коэффициентами по формуле

tg k2 k1 . 1 k1k2

Вкачестве примера найдем, под каким углом пересекаются синусоида

икосинусоида. Задача сводится к нахождению значений производных

Рис. 18.3

131

Вычисляем угловые коэффициенты касательных к заданным кривым в точке их пересечения

Отсюда

18.4. Правила дифференцирования. Непосредственное нахождение производных некоторых функций представляет собой трудоемкую задачу. Поэтому выведем правила дифференцирования, которые значительно упростят ее.

Производная суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций

(u(x) v(x)) u (x) v (x) .

Действительно, приращение суммы равно

y u(x x) v(x x) u(x) v(x) u(x x) u(x) v(x x) v(x) ,

т.е. y u v .Следовательно,

так как предел суммы равен сумме пределов и последние пределы существуют в силу предположения о дифференцируемости слагаемых.

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений каждой функции на производную другой функции

Действительно, дадим приращение аргументу x . Тогда сомножители

получат приращения u и v соответственнои приращение функции равно

y u u v v uv u v v u u v .

Следовательно,

132

поэтому последнее слагаемое в этой формуле равняется нулю и мы приходим к формуле (18.1).

В качестве следствия получим следующее правило: постоянный

множитель при дифференцировании выносится за знак производной

(cf (x)) cf (x) .

Применим это правило для нахождения производной логарифмической функции с произвольным основанием > 0, ≠ 1

Производная частноговычисляется по следующей формуле:

при условии, что знаменатель в данной точке не обращается в ноль. Действительно, выразим приращение частного через приращения делимого и делителя

Лекция 19. Производная (продолжение)

19.1. Дифференцирование сложной и обратной функций.Часто приходится находить производную так называемой сложной функции, представляющей собой «функцию от функции». Например,

x2 1, sin(2x 3), e x2

или в общем виде

y f ( (x)) F (x) .

Эта функция представлена как суперпозиция (композиция)двух функций

дифференцируемая функция независимой переменной x . Оказывается, что

производная сложной функции по независимой переменной равна произведению производной функции по промежуточнойпеременной на производную промежуточнойпеременной по независимой переменной

yx fu (u(x))u (x) .

Это так называемое цепное правило доказывается следующим образом. Используя определение производной, получим

В силу непрерывности функции u(x) из условия x 0 следует, чтоu 0 . Отсюда вытекает указанная формула в предположении, что

134

u 0 .

Если же окажется, что u u(x x) u(x) 0, т.е. u(x x) u(x) то

случае.Далее, многие элементарные функции определены как обратные функции к другим функциям, например, y arcsin x , y ln x .

Возникает вопрос: нельзя ли найти производную обратной функции, зная производную исходной функции?Оказывается, можно. А именно, если

где знак « + » взят в силу того, что в промежутке / 2 y / 2 , в котором обратная функция существует, cos y положителен.

Для доказательства формулы (19.1) продифференцируем равенство x ( y) по переменной x , применяя правило дифференцирования сложной

функции (считая y функцией x ):

Геометрический смысл этой формулы виден из рис. 19.1

135

соотношение и выражает формулу дифференцирования обратной функции.

19.2.Дифференцированиефункций, заданных параметрически. Касательная к параметрически заданной кривой. Получим теперь правило нахождения производной параметрически заданной функции.

Такая функция, например, возникает в задаче о траектории фиксированной точки M окружности радиуса r , катящейся без скольжения по оси Ox .

136

1

Рис. 19.2

Пусть в начальный момент точка M находится в начале координат. В

M (x, y) как функции параметра t . Из рисунка видно, что длина дуги MP

равна длине отрезка OP и равна rt . Следовательно, из треугольника MKC найдём

x r(t sin t) 0 t 2 .y r(1 cost)

Выбранные границы изменения параметра соответствуют одному обороту окружности. Таким образом, мы получили зависимость переменной y от переменной x , выраженную не явно, а через промежуточный параметр

t . График этой зависимости представлен на рис. 19.2, а кривая называется циклоидой. Название циклоида означает: «напоминающая о круге». Его дал Галилео Галилей (1564–1642). Конечно, можно связать x и y

непосредственно, исключив параметр t . Однако эта функция будет иметь достаточно сложный вид, поэтому возникает необходимость в нахождении производной y как функции переменной x на основе параметрического

задания функции.

Рассмотрим задачу в общем виде. Пусть функция y f (x) задана параметрически

137