10289

Лекция 4. Системы m уравнений с n неизвестными

4.1. Ранг матрицы. Мы рассматривали систему n уравнений с n неизвестными, у которой матрица невырожденная. А как быть, если матрица вырожденная ( ( A) 0) или m n , то есть число неизвестных не

совпадаетс числом уравнений?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, нам понадобится понятие ранга матрицы. Это некоторая числовая характеристика матрицы. Вводится она следующим образом. Выберем некоторые k строк и k столбцов и образуем матрицу порядка k , которая состоит из элементов, стоящих на их пересечении. Определитель этой матрицы будем называть минором k -го порядка.

Рангом матрицы A называется число r( A) , равное наибольшему из

порядков её миноров, отличных от нуля. Если все миноры равны нулю, что возможно только для нулевой матрицы, то r 0 .

Очевидно, что ранг — это число, удовлетворяющее неравенству

0 r min m,n ,

где m и n – размеры матрицы. Например,

так как все миноры второго порядка равны нулю.

Если матрица квадратная и невырожденная, то её ранг равен порядку матрицы.

Один из способов вычисления ранга – это «идти снизу», последовательно находя неравные нулю миноры первого, второго и следующих порядков.

4.2. Теорема Кронекера-Капелли. Выше при рассмотрении системы линейных уравнений мы ограничивались случаем, когда число уравнений

30

Кронекера-Капелли система будет совместна тогда и только тогда, когда выполняется условие

rang A rang B .

так как ранг не может быть больше числа строк. Система совместна. Найдите её единственное решение.

(проверьте!), но есть минор второго порядка, отличный от нуля. Из расширенной матрицы образуем минор

(проверьте!). Значит, rang B 3 и, следовательно, эта система несовместна.

Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что система n уравнений с n неизвестными с отличным от нуля определителем всегда совместна. Её единственное решение можно получить по правилу Крамера. В частности, однородная система уравнений, у которой все правые части равны нулю, а определитель не равен нулю, имеет единственное так называемое

единственным решением тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен числу неизвестных. Поясним это на следующем примере.

32

поэтому rang A 3. Вычислим минор четвёртого порядка расширенной матрицы B

(сложим третий столбец последовательно с первым, вторым столбцами)

(вычитая из первого столбца третий, получим)

значит, rang B 3. Система совместна и число неизвестных совпадает с

рангом. Как найти ее решения? Нужно выписать те уравнения системы, которые дают отличный от нуля минор третьего порядка (так называемый базисный минор). В данном случае это три первых уравнения. Проверьте, что единственным решением системы этих уравнений будет (1, 2, 3) и оно удовлетворяет и оставшемуся уравнению. Это следует из того, что определитель расширенной матрицы равен нулю и, следовательно, элементы ее четвертой строки являются линейными комбинациями соответствующих элементов первых трех строк (см. свойство 9 определителей).

33

Из расширенной матрицы можно составить три минора третьего порядка (столбец свободных членов последовательно подставляется вместо коэффициентов при неизвестных). Убедитесь, что все они равны нулю.

Значит, rang B 2 . Система совместна, но ранг матрицы A меньше числа

неизвестных, поэтому система имеет бесчисленное множество решений. Как их найти? Выписываем уравнения, «дающие» базисный минор, оставляя в левой части число неизвестных, равное рангу матрицы (причём оставляем те неизвестные, которые «входят» в базисный минор)

x 2 y z 3x 3y 1 z

Решаем эту систему, считая z произвольным параметром

Сформулируем теперь общее правило, по которому решается совместная система линейных уравнений. Пусть rang A= r .

Отыскиваем базисный минор порядка r (он получается при нахождении ранга матрицы).

Выбираем r уравнений, «породивших» базисный минор (остальные отбрасываем).

Неизвестные, «входящие» в базисный минор, оставляем слева, а остальные n r называем свободными и переносим в правые части уравнений.

Решаем полученную систему r уравнений r с неизвестными. Из этого правила следует, что в случае, когда ранг совместной системы

меньше, чем число неизвестных, то эта система имеет бесконечно много решений. В частности, однородная система n уравнений с n неизвестными и равным нулю определителем, т.е. когда

rang A rang B n ,

кроме тривиального имеет ненулевые решения.

34

Раздел 2. Векторная алгебра

Лекция 5. Векторы и линейные операции над ними

5.1.Основные понятия и определения. Понятие вектора

сформировалось в физике, точнее в механике. Скорость, ускорение, сила определяются величиной и направлением и называются векторными величинами. Масса, объем, температура и т.п. определяются численным значением и называются скалярами или скалярными величинами. Вектор

– это направленный отрезок. Обозначается вектор символом a или AB , где точка A – начало, а B – конец.

a

Рис 5.1.

Длиной или модулем вектора называется расстояние между его

началом и концом и обозначается | AB | или | a |.

Если начало и конец вектора совпадают, то он называется нулевым вектором 0 .

Векторы называются коллинеарными a || b , если они параллельны одной прямой.

Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости (очевидно, что любые два вектора компланарны).

перемещении вектора параллельно самому себе получим равный ему вектор.

35

Единичным вектором или ортом называется вектор, модуль которого равен единице | a | 1 .

5.2. Линейные операции над векторами. Произведением вектора a начисло k называется вектор b k a , который:

иллюстрирует следующий рисунок, где k 2 .

Рис. 5.3

Вектор b ( 1) a a называется противоположным вектору a . По определению операции умножения вектора на число вектор b k a коллинеарен вектору a . Покажем, что имеет место обратное утверждение:

36

если два вектора коллинеарны ( a || b ), то существует такое число k 0 , что b k a , и это число с точностью до знака равно отношению длин этих векторов. Действительно, в случае, если a b , возьмем k | b | / | a | . Тогда векторы b и k a направлены в одну сторону и их длины равны, т.е. b k a

. В случае a b выберем k | b | / | a |.

вектора a , тогда начало вектора c совпадает с началом вектора a , а конец

– с концом вектора b (рис 5.4).

Рис. 5.4

Из рисунка ясно, что порядок слагаемых может быть любой, т.е.

a b b a .

Отсюда следуетправило параллелограмма: на векторах a и b , имеющих общее начало, строится параллелограмм, тогда начало вектора c

совпадает с общим началом векторов a и b , а конец – с противоположной вершиной параллелограмма (рис.5.5).

ba+ b

a

37

Рис. 5.5

Для суммы справедлив сочетательный закон (a b) c a (b c ) .

Заметим, что векторы не обязаны быть расположенными в одной плоскости (см. рис. 5.6).

(a+b)+ c

a+(b+c)

Рис. 5.6

Отметим также операцию сложения с нуль-вектором

a 0 0 a a

Разность векторов a и b определяется через введенные выше операции следующим образом

a b a ( b)

b

плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно этой оси (рис.

5.8).

38

Рис. 5.8

Проекцией вектора AB на ось L называется число ПрL AB , равное по модулю расстоянию между проекциями начала и конца вектора AB на

ось L , и взятого со знаком плюс, если направление вектора A B совпадает с направлением оси, и со знаком минус, если они направлены в противоположные стороны.

вектором AB будем понимать меньший из углов, который отсчитывается от

39