9968

УДК 004.9

Прокопенко Н.Ю. / Дискретная математика [Электронный ресурс]: учеб.- метод. пос. / Н.Ю. Прокопенко; Нижегор. гос. архитектур. - строит. ун-т – Н. Новгород: ННГАСУ, 2016. – 181 с.– 1 электрон. опт. диск (CD-RW).

В настоящем учебно-методическом пособии по дисциплине «Дискретная математика» даются конкретные рекомендации учащимся для освоения как основного, так и дополнительного материала дисциплины и тем самым способствующие достижению целей, обозначенных в учебной программе дисциплины. Цель учебно-методического пособия – это помощь в усвоении лекций и в подготовке к практическим занятиям.

Учебно-методическое пособие предназначено для обучающихся в ННГАСУ по дисциплине «Дискретная математика» по направлению подготовки 09.03.03 Прикладная информатика, профиль Прикладная информатика в экономике.

Учебно-методическое пособие ориентировано на обучение в соответствии с календарным учебным графиком и учебным планом по основной профессиональной образовательной программе направления 09.03.03 Прикладная информатика, профиль Прикладная информатика в экономике, утверждённым решением учёного совета ННГАСУ от 02.09.2016 г. (протокол № 1).

© Н.Ю. Прокопенко, 2016 © ННГАСУ, 2016

2

Оглавление

1.Общие положения………………………………………………………………...4

1.1Цели изучения дисциплины и результаты обучения………………………4

1.2Содержание дисциплины…………………………………………………….4

1.3Порядок освоения материала………………………………………………...5

2.Методические указания по подготовке к лекциям……………………………..6

2.1Общие рекомендации по работе на лекциях………………………………..6

2.2Общие рекомендации при работе с конспектом лекций…………………...7

2.3Краткое содержание лекций………………………………………………….8

2.4Контрольные вопросы……………………………………………………….91

3.Методические указания по подготовке к практическим занятиям…………...93

3.1Общие рекомендации по подготовке к практическим занятиям…………93

3.2Примеры задач для практических занятий…………………………...……93

4.Методические указания по организации самостоятельной работы………...114

4.1Общие рекомендации для самостоятельной работы…………………….114

4.2Темы для самостоятельного изучения……………………………………117

4.3. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы………….118

4.4 Задания для самостоятельной работы…………………………………….118

3

1. Общие положения

1.1 Цели изучения дисциплины и результаты обучения

Основными целями освоения учебной дисциплины «Дискретная математи-

ка» являются: знакомство с основными разделами теории множеств, математи-

ческой логики, теории графов, комбинаторного анализа, развитие логического и алгоритмического мышления, овладение основными методами постановки ма-

тематических задач, которые необходимы для создания и эксплуатации слож-

ных автоматизированных систем обработки информации и их компонент в об-

ласти экономики, математического и программного обеспечения вычислитель-

ной техники, сетей передачи данных и многих других сферах деятельности че-

ловека.

В процессе освоения дисциплины студент должен Знать:

основные понятия, методы, алгоритмы, способы решения задач учебной дисциплины «Дискретная математика»;

описание основных комбинаторных конфигураций; основные свойства комбинаторных объектов и чисел, методы их изучения (теоретико-

множественный, алгебраический, метод рекуррентных соотношений);

основные понятия и определения теории графов, способы представления графов, типы графов и алгоритмы обхода графов;

методы математической логики, основу которых составляют булева ал-

гебра и теория предикатов.

Уметь:

перевести содержательную задачу на теоретико-множественный язык,

найти подходящий метод решения комбинаторной задачи;

применять основные эффективные алгоритмы решения задач теории гра-

фов (алгоритмы нахождения кратчайшего пути, эйлерова и гамильтонова цикла);

упрощать логические формулы, реализующие булевы функции, строить

4

нормальные формы и соответствующие им релейно-контактные схемы,

знать примеры полных и замкнутых систем булевых функций.

Владеть:

техникой решения задач комбинаторного характера и навыками исследо-

вания теоретических проблем комбинаторного анализа;

навыками абстрактных рассуждений, навыками решения логических за-

дач;

навыками решения задач теории графов, связанных с построением графов и подграфов, поиском кратчайших маршрутов, циклов и цепей в графах специального вида и др.

1.2Содержание дисциплины

Материал дисциплины сгруппирован по следующим разделам:

1. Теория множеств и отношений.

Понятие множества и подмножества. Операции над множествами и их свойства. Бинарные отношения и их свойства. Понятие функции. Свойства функций. Отношение порядка, эквивалентности, предпочтения, ранжирования.

2. Комбинаторный анализ.

Правила комбинаторики и основные комбинаторные конфигурации (пере-

становки, размещения, сочетания с повторением и без повторения). Алгебраи-

ческий метод изучения комбинаторных объектов и чисел. Комбинаторные тож-

дества. Бином Ньютона и полиномиальная формула Свойства биномиальных коэффициентов. Теоретико-множественный метод изучения комбинаторных объектов и чисел. Метод включений и исключений.

3. Теория графов.

Основные понятия теории графов. Способы задания графов. Операции над графами. Типы графов. Связность. Компоненты графа. Маршруты, цепи, цик-

лы. Метрические характеристики графа. Эйлеровы и гамильтоновы графы.

Кратчайшие пути и цепи. Деревья и их свойства. Алгоритмы на графах. Двух-

полюсные сети и потоки в сетях.

5

4. Алгебра логики.

Высказывания и операции над ними. Формулы алгебры высказываний,

таблицы истинности, типы формул (выполнимые, опровержимые, тавтологии,

противоречия). Основные эквивалентности. Применение алгебры высказыва-

ний к решению логических задач: упрощение систем рассуждений, проверка правильности рассуждений. Логическое следствие и его свойства. Приложение алгебры высказываний к релейно-контактным схемам (РКС).

5. Булевы функции.

Булевы функции. Совершенные дизъюнктивные и конъюнктивные нор-

мальные формы. Полином Жегалкина. Полнота и замкнутость систем булевых функций. Теорема Поста.

1.3 Порядок освоения материала

Материал дисциплины изучается в соответствии с порядком, определён-

ным в следующей таблице:

Таблица 1

Порядок освоения дисциплины

2. Методические указания по подготовке к лекциям

2.1 Общие рекомендации по работе на лекциях

Лекция является главным звеном дидактического цикла обучения. Ее цель

– формирование основы для последующего усвоения учебного материала. В

ходе лекции преподаватель в устной форме, а также с помощью презентаций

6

передает обучаемым знания по основным, фундаментальным вопросам изучае-

мой дисциплины.

Назначение лекции состоит в том, чтобы доходчиво изложить основные положения изучаемой дисциплины, ориентировать на наиболее важные вопро-

сы учебной дисциплины и оказать помощь в овладении необходимых знаний и применения их на практике.

Личное общение на лекции преподавателя со студентами предоставляет большие возможности для реализации образовательных и воспитательных це-

лей.

При подготовке к лекционным занятиям студенты должны ознакомиться с презентаций, предлагаемой преподавателем, отметить непонятные термины и положения, подготовить вопросы с целью уточнения правильности понимания.

Рекомендуется приходить на лекцию подготовленным, так как в этом случае лекция может быть проведена в интерактивном режиме, что способствует по-

вышению эффективности лекционных занятий.

2.2Общие рекомендации при работе с конспектом лекций

Входе лекционных занятий необходимо вести конспектирование учебного материала. Конспект помогает внимательно слушать, лучше запоминать в про-

цессе осмысленного записывания, обеспечивает наличие опорных материалов при подготовке к семинару, зачету, экзамену.

Полезно оставить в рабочих конспектах поля, на которых делать пометки из рекомендованной литературы, дополняющие материал прослушанной лек-

ции, а также подчеркивающие особую важность тех или иных теоретических положений.

В случае неясности по тем или иным вопросам необходимо задавать пре-

подавателю уточняющие вопросы. Следует ясно понимать, что отсутствие во-

просов без обсуждения означает в большинстве случаев неусвоенность матери-

ала дисциплины.

7

2.3 Краткое содержание лекций.

Раздел 1. Теория множеств и отношений – 4 лекции.

Множеством называется совокупность объектов любой природы, кото-

рые объединены в одну группу (систему, совокупность) по тем или иным при-

знакам (множество городов, множество положительных чисел, множество сту-

дентов, множество действительных чисел и т.д.).

Элементы множества – это объекты, которые образуют данное множе-

ство, могут обладать некоторыми свойствами и находиться в некоторых отно-

шениях между собой или с элементами других множеств.

Множество можно задавать перечислением его элементов:

Х х1 , х2 , , xn или характеристическим свойством Х = {х | Р(x)}, где Р(х)

означает, что элемент х обладает свойством P(x).

Способы записи множеств: А= {1, 2, 3, … ,10}, А= {а R |a|1}.

Принадлежность элемента х множеству А записывается, как х А (чи-

тают: элемент х принадлежит множеству А). В противном случае, обозначают

х A (читают: элемент х не принадлежит множеству А).

Множества могут быть конечными и бесконечными.

Множество A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0} цифр в десятичной системе счисления конечно. Множество точек окружности бесконечно.

Число элементов в конечном множестве М называется мощностью М и

обозначается |M|. Пусть задано множество A={x| 5 x 10, x N}, тогда |A|=6,

В={1,5,8,0,1,1,5}, тогда |В|=4.

Элементами множеств могут быть другие множества. Запись А={{x,y},z}

означает, что множество A содержит два элемента: множество {x,y} и элемент z, |A|=2.

Пример 1.1.

A = {D, C}, D={a, b}, C={c, d, e}. При этом D A, C A, но a A и с A.

8

Множество А, все элементы которого принадлежат множеству В, называ-

ется подмножеством множества В.

Обозначение: A B; A B, при этом говорят, что А включено в В.

Нестрогое включение обозначается А В, означает, что А – подмноже-

ство множества В, возможно совпадающее с В. Строгое включение обознача-

ется А В, и означает, что А – подмножество множества В, не совпадающее с B.

Равенство множеств А В означает, по определению, что верны оба включения в ту и другую сторону: А В и В А.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым

множеством и обозначается Ø. Пустое множество является подмножеством любого множества, т.е. А, где А – любое множество.

Пустое множество – это множество, поэтому, если некоторое множество

A не содержит ни одного элемента, то A=; |A|=0. Запись A={ } означает, что

A содержит один элемент – , |A|=1.

Обычно в конкретных рассуждениях элементы всех рассматриваемых множеств берутся из некоторого одного множества U (своего для каждого слу-

чая), которое называется универсальным множеством.

Геометрическая интерпретация множеств – диаграммы Венна

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех эле-

ментов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. А В х х А или х В

Определение. Пересечением множеств А и В назы-

вается множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В.

А В х х А и х В

9

Определение. Разностью множеств А и В называ-

ется множество всех тех и только тех элементов А,

которые не содержатся в В. А \ В = { х | х А и х В }.

Определение. Симметрической разностью мно-

жеств А и В называется множество, содержащее либо элементы множества А, либо элементы мно-

жества В, но не те и другие одновременно.

А÷В=( А \ В )( В \ А)={х| х А или х А, но х А В

}

Определение. Дополнением множества А (до уни-

версального множества) называется множество всех тех элементов из U, которые не принадлежат данному множеству А. А U \ A, где U – универ-

сальное множество.

Приоритет операций в алгебре множеств следующий:

1. A 2. А В 3. А В 4. A\B

Свойства операций пересечения, объединения и дополнения над

множествами:

1.Коммутативные законы:

АВ В А

АВ В А

АВ В А

2.Ассоциативные законы

А(В С) (А В) С

А(В С) (А В) С

10