9968

Задача 9.

Найдем коэффициент при хy 2 z после раскрытия скобок в выражении

(x 2 y z 1)5 .

Решение. Коэффициент при ab2cd после раскрытия скобок в выражении

Задача 10.

Сколькими способами из группы в 17 человек можно сформировать 6

коалиций по 2 человека и 1 коалицию из 5 человек?

Решение. Требуется разбить множество из 17 человек на непересекающиеся и неупорядоченные группы людей. Откуда искомое число

17!

равно . (2!)6 (5!)16!1!

2. Ситуация, когда совершены еще не все рукопожатия, может схематиче-

ски быть изображена, например, с помощью рисунке 3.1 b): пожали руки А и Б,

А и Г, Д и Г, В и Д. Следующий момент, когда добавятся, например, пожатия рук А и В, Г и Б.

3. На рисунке 3.23 изображен граф, соответствующий всем совершенным рукопожатиям.

Рис. 3.2. Полный граф с пятью вершинами.

Если подсчитать число ребер графа, изображенного на рисунке 3.2, то это число и будет равно количеству совершенных рукопожатий между пятью мо-

лодыми людьми. Всего их 10.

Задача 4.

В кабинете 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединен ровно с пятью другими?

Решение. Предположим, что это возможно. Рассмотрим тогда граф, вер-

шины которого соответствуют телефонам, а ребра – соединяющим их прово-

дам. В этом графе 15 вершин, степень каждой из которых равна пяти. Подсчи-

таем количество ребер в этом графе. Для этого сначала просуммируем степени всех его вершин. Ясно, что при таком подсчете каждое ребро учтено дважды

(оно ведь соединяет две вершины). Поэтому число ребер графа должно быть равно 15·5/2, но это число нецелое, следовательно, такого графа не существует,

а значит, и соединить телефоны требуемым образом невозможно.

103

Задача 7.

Для графа G, изображенного на рисунке 3.3, найдем радиус, диаметр и цен-

тры.

Рис. 3.3.

Решение. Чтобы определить центры, радиус, диаметр графа G, найдем

матрицу D(G) расстояний между вершинами графа, элементами dij которой бу-

дут расстояния между вершинами vi и v j . Для этого воспользуемся графиче-

ским представлением графа.

Заметим, что матрица D(G) симметрична относительно главной диагона-

ли. С помощью полученной матрицы для каждой вершины графа G определим наибольшее удаление по формуле вычисления эксцентриситета e vi : e v1 3, e v2 2 , e v3 2, e v4 2 , e v5 3 . Минимальное из полученных чисел яв-

105

Упростить РКС:

Решение. Составим по данной РКС формулу (функцию проводимости) и

упростим ее: (х у) z (x y) z x y z .

(к последним двум слагаемым применили закон поглощения).

Тогда упрощенная схема выглядит так:

Задача 4.

Построить контактную схему для оценки результатов некоторого спор-

тивного соревнования тремя судьями при следующих условиях: судья, засчи-

тывающий результат, нажимает имеющуюся в его распоряжении кнопку, а су-

дья, не засчитывающий результат, кнопки не нажимает. В случае, если кнопки нажали не менее двух судей, должна загореться лампочка положительное ре-

шение судей принято простым большинством голосов).

Решение. Ясно, что работа нужной РКС описывается булевой функцией трех переменных F(x,y,z), где переменные высказывания x, y, z означают: х –

судья х голосует «за»; у – судья у голосует «за»; z – судья z голосует «за».

Таблица истинности функции F(x,y,z), очевидно, имеет вид:

108

СКНФ формулы (функции) F(x,y,z) запишется в виде:

F(x, y, z) x y z x y z x y z x y z .

Этой формуле соответствует РКС с двенадцатью переключателями:

1. 1. Z

Упростим формулу F(x, y, z) x y z x y z x y z x y z

(x y z x y z) (х у z x y z) (x y z x y z)

х у (z z) x z ( y y) y z (x x) x y x z y z

x y z (x y) .

Полученной формуле соответствует схема, содержащая пять переключа-

телей.

Задача 5.

Является ли логически правильным следующее рассуждение. Студент пойдет домой (а) или останется в университете (в). Он не останется в универси-

тете. Следовательно, студент пойдет домой.

109

Решение. Запишем это рассуждение символически с помощью указанных

в скобках букв: а в, в , а. Истинность следствия будет определяться истинно-

стью имеющихся высказываний, если а в, в а.

Имеем, а в( в а) а в в а а в в а (а в) (в в) а

(а в) 1 а а в а 1. Таким образом, а в( в а) – тавтология, поэтому можно считать, что данное рассуждение логически правильное.

Задача 6.

Пытаясь вспомнить победителей прошлогоднего турнира, пять бывших зрителей турнира заявили:

1)Антон был вторым, а Борис – пятым.

2)Виктор был вторым, а Денис – третьим.

3)Григорий был первым, а Борис - третьим

4)Антон был третьим, а Евгений – шестым.

5)Виктор был третьим, а Евгений – четвертым.

Впоследствии выяснилось, что каждый зритель ошибся в одном из двух своих высказываний. Каково было истинное распределение мест в турнире?

Решение. Обозначим высказывания зрителей символом Х у , где Х – пер-

вая буква имени участника турнира, а у – номер места, которое он занял в тур-

нире.

Так как в паре высказываний каждого зрителя одно истинно, а второе ложно, то будут истинными дизъюнкции этих высказываний

А2 Б5 1; В2 Д3 1; Г1 Б3 1; А3 Е6 1; В3 Е4 1.

Но тогда истинной будет формула

F (A2 Б5 ) (В2 Д3 ) (Г1 Б3 ) (А3 Е6 ) (В3 Е4 ) 1.

Путем равносильных преобразований легко показать, что

110