9968

периодических изданиях по техническим наукам, исключая издания в Австралии.

15.Докажите следующие утверждения для произвольных множеств А, В, С:

а) Если А В и В С, то А С

б) Если А В и В С, то А С

г) Если А В и В С, то А С

д) Если А В и В С, то А С

16.Приведите пример множеств А, В, С, Д, Е, удовлетворяющих одновременно следующим условиям: А В, В С, С Д, Д Е.

17.Приведите пример множеств А, В, С таких, что

1)A B, B C, A C

2)A B, A C, C B

3)A B, B C, A C

18.Какие из следующих утверждений верны для всех множеств А, В, С:

1)Если А В и В С, то А С.

2)Если А В и В С, то А С.

3)Если А В и не верно, что В С, то А С.

19.Доказать, что А В тогда и только тогда, когда А \ В = .

20.Доказать, что А = В тогда и только тогда, когда А В .

21.Доказать, что 2 A B 2 A 2B , где 2А – множество всех подмножеств

множества А.

22. Обследование 100 студентов дало следующие результаты о количестве студентов, изучающих различные иностранные языки: испанский 28;

немецкий 30; французский 42; испанский и немецкий 8; испанский и французский 10; немецкий и французский 5; все три языка 3.

a)Сколько студентов не изучает ни одного языка?

b)Сколько студентов изучает один французский язык?

121

c) Сколько студентов изучает немецкий язык в том и только том случае, если они изучают французский язык?

Указание. Нарисуйте диаграмму Венна в виде трех кругов,

обозначающих множества студентов, изучающих соответственно французский, немецкий и испанский языки. В каждую из восьми областей впишите данные, используя приведенные цифры.

23.Из 100 опрошенных студентов 50 программируют на алгоритмическом языке Си++, 53 – на Паскале, 42 – на Бейсике, 15 студентов могут программировать на Си++ и на Бейсике, 20 студентов – на Паскале и на Бейсике, 25 – на Си++ и Паскале, а 5 студентов программируют на всех трех языках.

1)Сколько студентов не могут программировать ни на одном языке из перечисленных языков?

2)Сколько студентов программируют хотя бы на одном языке из перечисленных языков?

3)Сколько студентов программируют на Паскале?

4)Сколько студентов не программируют ни на Си++, ни на Паскале?

24.В отчете об обследовании 100 студентов сообщалось, что количество студентов, изучающих различные языки, таково; все три языка 5;

немецкий и испанский 10; французский и испанский 8; немецкий и

французский 20; испанский 30; немецкий 23; французский 50. Инспектор,

представивший этот отчет, был уволен. Почему?

25. База данных содержит сведения о результатах сдачи экзаменов по

математике, информатике и программированию. В таблице приведено

количество записей, найденных по следующим запросам:

Студенты, сдавшие на «5»

12

информатику и программирование Сколько студентов сдали все три дисциплины на отлично, если запрос на

объединение результатов трех запросов возвращает 37 записей?

26. В таблице показана реакция некоторого числа зрителей на одну телевизионную передачу. Все, фигурирующие в таблице категории,

можно выразить в терминах следующих четырех множеств:

Сколько человек попадает в каждую из следующих категорий:

27.Пользуясь свойствами операций над множествами доказать равенства:

1)A B X A B C X Y A X A A B X

2)A B C A B C B C U

28.Каждое из следующих утверждений либо докажите, либо покажите при

помощи диаграмм Эйлера, что оно не всегда верно:

а) A B \ A B A \ B B \ A

б) A B C A B C

в) A \ B B \ A A B A B

123

29. Доказать равенства:

30. Даны множества:

SN n1, n2 , n3 , n4 , n5 , n6 , n7 , n8 , n9 , n10 , n11, n12 – множество студентов первого курса вуза N;

SМ т1, т2 , т3 , т4 , т5 , т6 , т7 , т8 , т9 , т10 – множество студентов первого курса вуза M;

S n1, n2 , n5 , n7 , n8 , n10 , n12 , т2 , т3 , т4 , т5 , т7 , т8 , т10 ,k1,k2 ,k3 ,k4 –

множество выпускников средней школы прошлого учебного года;

K n1, n3 , n4 , n5 , n7 , n8 ,n11, n12 , т2 , т4 , т6 , т7 , т8 , т8 , т9 ,m10 ,k2 ,k3 –

множество первокурсников – участников студенческих конференций.

a)Найдите количество участников конференций первокурсников от вуза М, окончивших среднюю школу в прошлом учебном году.

b)Установите соответствие между множествами, заданными перечислением и соответствующими им диаграммами Эйлера-

Венна:

1) n1, n5 , n7 , n8 , n12 , т2 , т4 ,т7 , т8 , т10 ; 2) т6 , т9 3) n6 , n9 , т3 , т5 ,k1,k4

124

32.На R задано бинарное отношение . Определить тип отношения. Найти

область определения, область значений и построить график.

33.На N задано бинарное отношение . Определить тип отношения. Найти

область определения, область значений, отношение 1 .

c)(х, у) N2 х у 10

34.Записать элементы множества Y и вычислить его мощность.

Ответ обосновать математическими выкладками.

1)Y (U \ ( A B) A) C

2)Y (A D) (B C E)

где A = {1, 2, 3, 4, 5, a, b, c, d}, B = {2, 3, 7, a, b, c, d, e, f}, C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, a, b, c}, D = {1, b}, E = {c, d}.

35.Отношение на некотором множестве ключевых слов для поиска в Интернете определено следующим образом: пара ключевых слов а и b

125

принадлежит , если и только если они начинаются с одного и того же символа. Является ли отношением эквивалентности?

36.В следующих примерах нужно задать бинарное отношение всеми способами (перечислением элементов, графически, матрицей):

1)Привести пример рефлексивного бинарного отношения, которое не является симметричным и транзитивным.

2)Привести пример симметричного бинарного отношения, которое не является рефлексивным и транзитивным.

3)Привести пример транзитивного бинарного отношения, которое не является рефлексивным и симметричным.

4)Привести пример рефлексивного и симметричного бинарного отношения,

которое не является транзитивным.

5)Привести пример рефлексивного и транзитивного бинарного отношения,

которое не является симметричным.

6)Привести пример симметричного и транзитивного бинарного отношения,

которое не является рефлексивным.

7)Изобразите граф с пятью вершинами, соответствующий рефлексивному симметричному и нетранзитивному отношению.

8)Изобразите граф с пятью вершинами, соответствующий антирефлексивному, несимметричному и транзитивному отношению.

рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным.

P (a,2), (a,3), (a,4), (b,3), (c,1), (c,4) и

1

P2 (1,1), (2,3), (2,2), (3,4), (1,4), (2,4), (4,2)

38.Определите, какими из свойств обладают следующие отношения на множестве 1,2,3,4,5

126

1)R1 : aR1b a b 1

2)R2 : aR2b 0 a b 3

3)R3 : aR3b a b четное число

4)R4 : aR4b а b2

5)R5 : aR5b НОД (a,b) 1

Представьте графически отношения: R1 R2 ; R1 R2 ; R2 1 ; R2 R4 ;

множеств соответствует отношению эквивалентности R (a,c) : a b

на множестве B awe, bbyyu, iii, bhio, aasdf , tyr, y, 23

1)В~ awe, bbyyu, iii, bhio, aasdf , tyr, y , 23

2)В~ awe, bbyyu , iii, bhio , у,23 aasdf , tyr

3)В~ у , bhio,bbyyu , awe, aasdf , iii, , tyr , 23

4)В~ у , 23 , bhio , aasdf ,bbyyu , iii,awe,tyr

4)R2 : (x1, y1)R2 (x2 , y2 ) x1 x2 или у1 у2

5)R5 : (x1, y1)R5 (x2 , y2 ) x1 x2 или x1 x2 , у1 у2

Найдите для них классы эквивалентности.

1)Определите, какие из следующих отношений на множестве Z являются отношениями порядка: R1 : aR1b a b

2)R2 : aR2b a b

3)R3 : aR3b a b

4)R4 : aR4b a2 b2

5)R5 : aR5b a b

42. На множестве Х слов, содержащихся в некотором словаре русского языка заданы отношения. Какие из этих отношений являются отношением

а содержится в круге b. Какими свойствами обладает это отношение?

128

Будет ли (К, ) –упорядоченным множеством? Будет ли (К, ) линейно упорядоченным множеством?

45. На множестве Z 2 определено отношение

(х1, у1)R(х2 , у2 ) х1 х2 , у1 у2 .

Докажите, что это отношение порядка.

46. Найдите все минимальные и максимальные относительно R элементы в множествах:

А1 (х, у) х 3, у 4 ; А2 (х, у) 2 х у 4 ; А3 (х, у) х2 у2 4 .

47. На множестве А задано бинарное отношение R (по вариантам).

Необходимо изобразить орграф, соответствующий отношению R и

определить свойства этого отношения.

48.Будут ли следующие отношения функциональными? Найти их область определения и область значения.

a)f (1,3),(2,4),(3,5),(4,3),(5,4)

b)f (1,2),(2,2),(1,3),(3,3),(4,2)

c)f х, у х2 у R R

d)f (х, у) х

49.Пусть даны два множества N 1, 2, – множество натуральных чисел и

X january, february, march, april, may, june . Обозначим через x –

длину в знаках (буквах) слова х. Найти образ элемента х=june в

функциональном соответствии: f : Х N, где f (x) x .

130