9818

[Введите текст]

с этим дифференциал называют главной частью приращения функции. Убедимся на следующем примере, что дифференциал действительно

составляет «львиную» долю приращения функции. Площадь квадрата со стороной x равна S (x) = x2 . Вычислим приращение этой функции

S = (x + x)2 - x2 = 2x × x + ( x)2 .

α( x)

x

S = x2

Из рисунка видно, что первое слагаемое, представляющее собой дифференциал, равно площади двух прямоугольников, а второе равно площади квадрата со стороной x .

Заменяя приращение функции дифференциалом, мы получаем универсальную формулу для вычисления значения функции в точке близкой к

[Введите текст]

Отметим еще раз геометрическое содержание приближённого равенства (21.2), переписав его в других обозначениях

y − y0 ≈ f ′(x0 )(x − x0 ) .

Отбрасывая в приращении функции бесконечно малую величину более высокого порядка, чем x , мы заменяем кривую в окрестности точки x0 её касательной в этой точке, т.е. линеаризуем данную функцию, заменяя её линейной функцией.

Заметим, что дифференциал независимой переменной равен её

менная. Тогда по определению

dy = f ′(u)du .

В случае же, когда u = ϕ(x) , используя формулу производной сложной функции, получим

dy = f ′(u)ϕ′(x)dx = f ′(u)du .

Таким образом, выражение для дифференциала не зависит от того, является ли аргумент независимой или зависимой переменной.

Дифференциалы высших порядков определяются по индукции: дифференциал n -го порядка равен дифференциалу от дифференциала (n −1)

-го порядка

d n x = d (d n−1x) .

151

[Введите текст]

Для n = 2 имеем

( dx – единый символ, поэтому в равенстве (dx)2 = dx2 скобки опускают). Отсюда получим

2

f ′′(x) = d y . dx2

21.2. Правило Лопиталя. Франсуа маркиз де Лопиталь (1661-1704) математик-любитель, ученик Иоганна Бернулли, автор первого печатного учебника курса дифференциального исчисления.

Под «правилом Лопиталя» понимают один из способов вычисления некоторых пределов. Пусть речь идёт о вычислении предела отношения

lim f (x) ,

x→ x0 g (x)

причём известно, что

[Введите текст]

Последнее равенство следует из непрерывности производных (предел непрерывной функции в точке равен её значению в этой точке). Отсюда по-

0

лучаем правило Лопиталя для неопределённости вида 0

Отметим, что это правило остаётся справедливым при x0 = ±∞ и в случае

рывны, то правило Лопиталя можно применить к нахождению предела отношения производных. Например,

стей

[¥ - ¥] , [0 × ¥] , [1∞ ], [00 ], [∞0 ]

могут быть приведены к указанным выше.

Например,

Неопределенности последних трех видов сводятся к неопределенности [0 × ¥] с помощью логарифмирования. Например, получим второй замечательный предел

153

[Введите текст]

Найдем предел логарифма этого выражения

Следовательно, искомый предел равен

154

[Введите текст]

Лекция 22. Исследование функций и построение их графиков

В аналитическом выражении, которым чаще всего бывает задана функция, содержится вся информация о её свойствах. График функции делает эти свойства легко обозримыми. Поэтому нужно уметь строить график функции по формуле, которой она задана. Самый простейший приём – это построение «по точкам». Однако он требует большого объёма вычислений и при этом могут быть потеряны характерные особенности исследуемой функции. Приёмы исследования, основанные на дифференциальном исчислении, позволяют именно эти особенности и уловить. Так, например, один факт существования производной функции в точке x0 даёт возможность линеаризовать функцию в окрестности этой точки. Дифференцируемость функции, как мы выяснили ранее, равносильна представлению её приращения в виде

y = f ′(x0 ) x + α( x) ,

где α( x) – бесконечно малая более высокого порядка, чем x . Заменяя

мы заменяем в окрестности точки x0 кривую y = f (x) касательной к ней в этой точке. Нельзя ли это приближённое равенство превратить в точное? Такое равенство, выражающее приращение дифференцируемой функции через приращение её аргумента, было получено Лагранжем (1736-1813гг).

22.1. Формула Лагранжа имеет вид

За знак равенства в ней мы «заплатили» тем, что не знаем точного положения точки ξ. Эту формулу называют также формулой конечных прира-

щений.

т.е. касательная в этой точке параллельна прямой AB (см. рис. 22.1). Из рисунка видно, что ξ является абсциссой точки P , полученной перемещением прямой AB параллельно себе. Формулу конечных приращений или

155

[Введите текст]

формулу Лагранжа (22.1) мы будем неоднократно применять в дальнейшем.

f ( x) − f ( x0 )

A α

x − x 0

Рис. 22.1

22.2. Признак монотонности функции. Применим формулу Лагран-

жа к исследованию поведения функции на некотором промежутке ( a , b ) . Напомним, что функция называется возрастающей в этом промежутке, если для любых значений x1 < x2 выполняется неравенство f (x1 ) < f (x2 ) . Выясним, каков же признак того, что функция возрастает.

Пусть производная функции положительна во всех точках промежутка ( a , b ) . Для произвольных x1 < x2 из этого промежутка применим формулу конечных приращений

Поскольку правая часть этого равенства положительна, то f (x2 ) > f (x1) , т.е. f (x) – возрастающая функция. В предположении, что производная неотрицательна ( f ′(x) ³ 0) , получим, что функция – неубывающая в этом

промежутке, т.е. f (x2 ) ³ f (x1 ) .

Аналогичным образом можно получить признаки убывающей и не-

возрастающей функций: f ′(x) < 0 и f ′(x) £ 0 .

Геометрически эти признаки означают, что в точках возрастания функции касательная к кривой составляет острый угол с положительным направлением оси абсцисс, а в точках убывания – тупой. В качестве примера найдем промежутки возрастания и убывания функции

156

Рис. 22.2

Следовательно, в промежутке (−∞,0) эта функция возрастает, а в промежутке (0,∞) – убывает.

22.3. Экстремумы. Под экстремумом функции в точке понимают её максимальное или минимальное значение в некоторой окрестности этой точки. Говорят, что точка x0 – точка максимума (минимума), если в некоторой ε − окрестности этой точки ( x - x0 < e ) выполняется неравенство

f (x) ≤ f (x0 ) , ( f ( x) ³ f ( x0 ) ) .

Как находить экстремумы, зная аналитическое выражение функции? Заметим, что точки экстремумов разделяют интервалы возрастания и убывания функции (точки максимумов) и наоборот (точки минимумов). Исходя из приведенных выше условий монотонности функции, естественно предположить, что в точках экстремумов производная функции обращается в ноль или не существует. Для дифференцируемых функций имеет место следующее.

Необходимое условие экстремума. Пусть функция имеет конечную производную в (a,b) и x0 – точка максимума (для определенности). Тогда производная в этой точке равна нулю f ′(x0 ) = 0 , т.е. касательная в точке экстремума горизонтальна (такие точки иногда называют стационарными). Действительно, по определению производной

157

[Введите текст]

f ′(x0 ) = 0

x0

Рис. 22.3

Следующий пример показывает, что обратное утверждение не верно. Так, для функции y = x3 производная в начале координат равна нулю, касательная совпадает с осью абсцисс, но экстремума в этой точке нет.

x

Рис. 22.4

Другие точки, в которых могут быть экстремумы, это точки, в которых производная либо не существует, либо обращается в бесконечность. В совокупности со стационарными эти точки называют критическими. При-

Необходимые условия позволяют выделить точки, «подозрительные»

158

[Введите текст]

на экстремум. Далее для каждой из них следует выяснить, есть ли экстремум в данной точке и, если есть, то каков он. Для этого существует следующие условия.

Достаточные условия экстремума. Если при «переходе» слева на-

право через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке максимум, а если с минуса на плюс, то минимум. Для дважды дифференцируемой функции это эквивалентно тому, что, если в

это точка минимума.

В самом деле, смена знака производной означает переход функции от возрастания к убыванию или наоборот, что соответствует экстремуму. Для дважды дифференцируемой функции смена знака иторой производной, например, с плюса на минус при переходе через стационарную точку означает, что первая производная функции убывает в некоторой окрестности этой точки. Следовательно, производная от первой производной, т.е. вторая производная f ′′(x) , должна быть отрицательной в этой окрестности, а значит и в самой точке, т.е. f ′′(x0 ) < 0 (см. рис. 22.6).

окрестности. Значит, существует окрестность точки x0 , где её производная

когда вычисление второй производной проще, чем решение неравенства для первой производной, второе условие предпочтительнее.

Пример. Найти экстремумы функции y = f (x) = x3 − 3x +1. Функция определена на всей числовой прямой. Её производная

f ′(x) = 3(x2 −1) = 3(x +1)(x −1)

всюду существует, поэтому абсциссы точек подозрительных на экстремум это те значения переменной, при которых производная равна нулю, т. е.

159